Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Cho $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A

$\left( {1;2;0} \right)$
B

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;1 - 2} \right)$; $\overrightarrow b = \left( {2;1; - 1} \right)$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

A
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{6}$
B
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{{36}}$
C
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{6}$
D
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{36}}$

Câu 3 :

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)$. Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v $, giá trị $T = m - n + p$ bằng:

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$ - 1$

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm $M$ là

A

$M\left( {0;2;1} \right)$
B

$M\left( {1;2;0} \right)$
C

$M\left( {2;0;1} \right)$
D

$M\left( {2;1;0} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} $

A
$\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right)$
B
$\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$
C
$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)$
D
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

A

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 5\sqrt 2 $
B

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $
C

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
D

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $

Câu 7 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 3;2;1} \right)$ và $B\left( {5; - 4;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.

A

$\left( P \right):\,\,4x - 3y - 7 = 0$
B

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 7 = 0$
C

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z - 16 = 0$
D

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z + 16 = 0$

Câu 8 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?

A

$\left( {1; - 1;1} \right)$ và $\left( {0;1;2} \right)$
B

$\left( {1;2;0} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
C

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
D

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {1;0;3} \right)$

Câu 9 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

A

$6\pi $
B

$12\pi $
C

$3\pi $
D
$10\pi $

Câu 10 :

Xét đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4$. Nhận xét nào sau đây đúng.

A

$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và $AB < 2R$
B

$d$ không có điểm chung với $(S)$
C

$d$ tiếp xúc với $(S)$
D

$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B $ và $AB$ đạt GTLN.

Câu 11 :

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?

A

$M(0;4;-2)$.
B

$N(2;2;-4)$.
C

$P(-2;2;4)$.
D
$Q(0;4;2)$.

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

A

$m = - 16$.
B

$m = 16$.
C

$m = 4$.
D

$m = - 4$.

Câu 13 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng d có một VTCP là:

A
$\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;-2 \right)$.
B
$\overrightarrow{a}=\left( -1;1;2 \right)$.
C
$\overrightarrow{a}=\left( 3;2;1 \right)$.
D
$\overrightarrow{a}=\left( 3;-2;1 \right)$.

Câu 14 :

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:

A

$( - 2,0,2)$
B

$( - 1,0,1)$
C

$(1,0,1)$
D

$(1,0, - 1)$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}$ đi qua điểm

A

$M\left( 1;-\,1;0 \right).$
B

$N\left( -\,1;1;0 \right).$
C

$Q\left( -\,1;-\,2;2 \right).$
D
$P\left( 1;2;-\,2 \right).$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

A

$M(0;1;0)$
B

$M(0;2;1)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M(0; - 1;1)$

Câu 17 :

Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ có tọa độ là

A

$\left( {0; - 9;9} \right)$
B

$\left( {0; - 4;4} \right)$
C

$\left( {0;4; - 4} \right)$
D

$\left( {0;9; - 9} \right)$

Câu 18 :

Trong không gian với hệ tọa độ , cho $A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)$ và mặt phẳng (P). Gọi $D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)$ thuộc $(\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0$ sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức $S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

A

S=18.
B

S=32.
C

S=20.
D

S=26.

Câu 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.$ và $\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}$.

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng ${d_3}$ qua $M\left( {1; - 1;2} \right)$ và vuông góc với cả ${d_1},\,\,{d_2}.$

A

$\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}$
B

$\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
C

$\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}$
D

${d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0$.

A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0$
B

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$
C

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0$
D

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0$

Câu 21 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0$ theo một đường tròn bán kính bằng $\sqrt{8}$ có phương trình là:

A

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$
B

${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$
C

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$
D
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$

Câu 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z$ . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là

A

$2x - 2y + z - 2 = 0$ và $2x - 2y + z + 16 = 0$
B

$2x - 2y + z + 2 = 0$ và $2x - 2y + z - 16 = 0$
C

$2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$
D

$2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A

$\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0$
B

$\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0$
C

$\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0$
D

$\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0$

Câu 24 :

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

A

$ - 10$
B

$0$
C

$7$
D

$ - 7$

Câu 25 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$\left( {1;2;0} \right)$
B

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là cặp VTCP của $\left( P \right)$ thì $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của $\left( P \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)$

Do đó $\overrightarrow n = \left( {4;22; - 14} \right)$ là một VTPT của $\left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n = \left( {2;11; - 7} \right)$ cũng là một VTPT của $\left( P \right)$.

Câu 2 :

A
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{6}$
B
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{{36}}$
C
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{6}$
D
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{36}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$, khi đó $\cos \left( {a,b} \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{1.2 + 1.1 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{6}$

Câu 3 :

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$ - 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai véc tơ bằng nhau nếu tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Do $\overrightarrow u = \overrightarrow v $ nên $m = 0,n = 2,p = 1$.

Vậy $m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1$.

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm $M$ là

A

$M\left( {0;2;1} \right)$
B

$M\left( {1;2;0} \right)$
C

$M\left( {2;0;1} \right)$
D

$M\left( {2;1;0} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa điểm $M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} $

A
$\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right)$
B
$\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$
C
$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)$
D
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho điểm $A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right);B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)$ thì $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$A\left( {1;1;0} \right),B\left( {0;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0 - 1;1 - 1;2 - 0} \right) = \left( { - 1;0;2} \right)$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

A

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 5\sqrt 2 $
B

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $
C

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
D

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mặt cầu có phương trình ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R $

Lời giải chi tiết :

Phương trình có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ với $a = 1,b = - 2,c = 4$ và $R = 2\sqrt 5 $

có tâm $I\left( {1; - 2;4} \right)$.

Câu 7 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 3;2;1} \right)$ và $B\left( {5; - 4;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.

A

$\left( P \right):\,\,4x - 3y - 7 = 0$
B

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 7 = 0$
C

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z - 16 = 0$
D

$\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z + 16 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận $\overrightarrow {AB} $ làm 1 VTPT.

Lời giải chi tiết :

Gọi I là trung trực của AB ta có $ \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {8; - 6;0} \right) = - 2\left( {4; - 3;0} \right) \Rightarrow \left( P \right)$ đi qua I và nhận $\overrightarrow n = \left( {4; - 3;0} \right)$. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0$

Câu 8 :

A

$\left( {1; - 1;1} \right)$ và $\left( {0;1;2} \right)$
B

$\left( {1;2;0} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
C

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
D

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {1;0;3} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về phương trình chính tắc rồi kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.

Câu 9 :

A

$6\pi $
B

$12\pi $
C

$3\pi $
D
$10\pi $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cách I một khoảng là d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, khi đó ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;0 \right)$, bán kính R = 5.

$d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 1+2.2+7 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=4=d$.

Do đó mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn (C) có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=3$.

Vậy chu vi đường tròn (C) bằng $2\pi r=6\pi $.

Câu 10 :

A

$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và $AB < 2R$
B

$d$ không có điểm chung với $(S)$
C

$d$ tiếp xúc với $(S)$
D

$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B $ và $AB$ đạt GTLN.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét số giao điểm của $d$ và $(S)$ bằng cách tìm số nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Giải hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{t^2} + {(2t)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\5{t^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \pm \sqrt {\dfrac{4}{5}} \\x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$

Suy ra $d $ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt.

Mặt khác $(S)$ có tâm $I(1;2;3) \in d$ nên $d$ qua tâm của mặt cầu.

Do đó $AB$ đạt GTLN.

Câu 11 :

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?

A

$M(0;4;-2)$.
B

$N(2;2;-4)$.
C

$P(-2;2;4)$.
D
$Q(0;4;2)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$nhận $\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\,\overrightarrow{OM}=(1;-1;2)$ là cặp vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OM} \right]$ là một vecto pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và chứa trục Ox$\Rightarrow \left( \alpha \right)$nhận $\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\,\overrightarrow{OM}=(1;-1;2)$ là cặp vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OM} \right]=(0;-2;-1)$ là một vecto pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

$\left( \alpha \right)$: $0.(x-0)-2.(y-0)-1\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 2y+z=0$

Dễ dàng kiểm tra $N(2;2;-4)\in \left( \alpha \right)$

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

A

$m = - 16$.
B

$m = 16$.
C

$m = 4$.
D

$m = - 4$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta có: phương trình mặt cầu có 2 dạng:

Dạng 1: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} = {\rm{ }}{R^2}\left( {R{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính là $R$ .

Dạng 2: ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}2ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2by{\rm{ }}-{\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {c^2} > {\rm{ }}d} \right)$ có tâm là $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} $

Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng d có một VTCP là:

A
$\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;-2 \right)$.
B
$\overrightarrow{a}=\left( -1;1;2 \right)$.
C
$\overrightarrow{a}=\left( 3;2;1 \right)$.
D
$\overrightarrow{a}=\left( 3;-2;1 \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d:\,\,\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng d có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;1 \right)$

Câu 14 :

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:

A

$( - 2,0,2)$
B

$( - 1,0,1)$
C

$(1,0,1)$
D

$(1,0, - 1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tâm mặt cầu chính là trung điểm của $AB$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 1\\{y_I} = 0\\{z_I} = 1\end{array} \right.$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}$ đi qua điểm

A

$M\left( 1;-\,1;0 \right).$
B

$N\left( -\,1;1;0 \right).$
C

$Q\left( -\,1;-\,2;2 \right).$
D
$P\left( 1;2;-\,2 \right).$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng

Lời giải chi tiết :

Ta có $d:\left\{ \begin{align} x=1+t \\ y=-\,1+2t \\ z=-\,2t \\ \end{align} \right.,$ với $t=0$ $\Rightarrow $ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 1;-\,1;0 \right).$

Câu 16 :

A

$M(0;1;0)$
B

$M(0;2;1)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M(0; - 1;1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} $

Lời giải chi tiết :

$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử $M(0;m;n)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}$

$ \Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.$.

Vậy $M(0;1;0)$

Câu 17 :

A

$\left( {0; - 9;9} \right)$
B

$\left( {0; - 4;4} \right)$
C

$\left( {0;4; - 4} \right)$
D

$\left( {0;9; - 9} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, tìm $\overrightarrow {AM} $ qua $\overrightarrow {AG} $.

- Biểu diễn tổng hai véc tơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ qua $\overrightarrow {AM} $ suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $.

Do tính chất trọng tâm có $\overrightarrow {AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} $. Suy ra$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} $.

Mà $\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)$. Suy ra $3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)$.

Câu 18 :

A

S=18.
B

S=32.
C

S=20.
D

S=26.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì ${d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}$ nên AB cắt (P) tại điểm I $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.$

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D thẳng hàng hay $D = IC \cap (\alpha )$

+ Nếu $I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. $

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha) $ ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)$ ( thỏa mãn )

+ Nếu $I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. $

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha) $ ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

$\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)$ ( loại)

Vậy $D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26$

Câu 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.$ và $\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}$.

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng ${d_3}$ qua $M\left( {1; - 1;2} \right)$ và vuông góc với cả ${d_1},\,\,{d_2}.$

A

$\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}$
B

$\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
C

$\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}$
D

${d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ thì $d$ có VTCP $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$

Lời giải chi tiết :

Đường ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow a = \left( {1; - 4;6} \right)$; ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow b = \left( {2;1; - 5} \right)$.

Vì ${d_3}$ vuông góc với ${d_1};\,\,{d_2}$ nên có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {14;17;9} \right)$.

Câu 20 :

A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0$
B

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$
C

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0$
D

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét từng đáp án:

- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.

- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm $A,B,C$ bằng bán kính.

Lời giải chi tiết :

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm ${I_A}(1, - 1,1)$ và ${R_A} = \sqrt {13} $

+ B cho mặt cầu tâm ${I_B}(2, - 1,3)$ và ${R_B} = 4$

+ C cho mặt cầu tâm ${I_C}( - 2,1, - 3)$ và ${R_C} = 2\sqrt 3 $

+ D cho mặt cầu tâm ${I_D}(1, - 1,1)$ và ${R_D} = \sqrt 5 $

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy${I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)$, nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với ${R_A},{R_D}$ .

Có $IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} $ . Ta thấy $IM \ne {R_A} \ne {R_D}$. Loại A và D

Câu 21 :

A

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$
B

${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$
C

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$
D
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Giả sử mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I có bán kính R theo giao tuyến là một đường tròn tâm O có bán kính r. Khi đó ta có: $OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)$ và $R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}.$

+) Phương trình mặt cầu tâm $I\left( a;\ b;\ c \right)$ và có bán kính $R$ có phương trình: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: $r=\sqrt{8}.$

$OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-2+2.\left( -1 \right)-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{9}}=1.$

Khi đó ta có: $R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{1+8}=3.$

Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$

Câu 22 :

A

$2x - 2y + z - 2 = 0$ và $2x - 2y + z + 16 = 0$
B

$2x - 2y + z + 2 = 0$ và $2x - 2y + z - 16 = 0$
C

$2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$
D

$2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu

Lời giải chi tiết :

Tâm mặt cầu $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ có phương trình dạng $2{\rm{x - }}2y + z + D = 0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên ${\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 2}\\{D = - 16}\end{array}} \right.$

Phương trình $(P)$ là $2x-2y+z+2=0; 2x-2y+z-16=0$.

Câu 23 :

A

$\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0$
B

$\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0$
C

$\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0$
D

$\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ở dạng đoạn chắn.

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki.

+) Tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}$

Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$

Câu 24 :

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

A

$ - 10$
B

$0$
C

$7$
D

$ - 7$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bốn điểm $A,B,C,D$ được gọi là đổng phẳng nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0$

Lời giải chi tiết :

Có

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD} = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$

$A,B,C,D$ đồng phẳng khi $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10$.

Câu 25 :

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;1;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4$

Bài liên quan