Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 5: Khối đa diện và thể tích - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:

A

$3$
B

$6$
C

$4$
D

$9$

Câu 2 :

Khối đa diện đều có $20$ mặt thì có bao nhiêu cạnh?

A

$24$
B

$12$
C

$30$
D

$60$

Câu 3 :

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên các cạnh $SA,SB,SC$ lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'$, khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp $S.ABC$ thành khối chóp $S.A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng là:

A

$k = \dfrac{1}{2}$
B

$k = 2$
C

$k = \dfrac{1}{3}$
D

$k = 3$

Câu 4 :

Hình tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng?

A

$6$
B

$5$
C

$4$
D

$3$

Câu 5 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
B

Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
C

Khối hộp là khối đa diện lồi.
D

Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Câu 6 :

Cho khối chóp tam giác $S.ABC$, trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$. Khi đó:

A

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
B

$\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
C

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
D

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Câu 7 :

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng $BD' = a\sqrt 6 $ . Tính thể tích của khối lăng trụ?

A

${a^3}\sqrt 2 $
B

${a^3}\sqrt 3 $
C

$3{a^3}$
D

$2{a^3}$

Câu 8 :

Phép dời hình biến đoạn thẳng thành:

A

đoạn thẳng dài bằng nó
B

đoạn thẳng vuông góc với nó
C

đoạn thẳng song song với nó
D

đoạn thẳng dài gấp đôi nó

Câu 9 :

Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?

A

chung đỉnh
B

cạnh bên bằng nhau
C

khoảng cách $2$ đỉnh bằng $a$
D

không cần bổ sung điều kiện gì

Câu 10 :

Trong các kí hiệu sau, kí hiệu nào không phải của khối đa diện đều?

A

$\left\{ {3;3} \right\}$
B

$\left\{ {4;3} \right\}$
C

$\left\{ {5;3} \right\}$
D

$\left\{ {4;4} \right\}$

Câu 11 :

Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?

A

Hình a
B

Hình c
C

Hình d
D

Hình b

Câu 12 :

Khối đa diện đều loại $\left\{ {n;p} \right\}$ thì $n$ là:

A

số đỉnh mỗi mặt
B

số đỉnh
C

số mặt
D

số cạnh đi qua một đỉnh

Câu 13 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A

Hình 1
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 4

Câu 14 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A

Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh
B

Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh
C

Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó
D

Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.

Câu 15 :

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A_1}$. Thể tích khối chóp $M.BC{A_1}$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$

Câu 16 :

Cho hình chóp $S.ABC$ đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB = a,AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$

A
$V = \dfrac{{{a^3}}}{2}$
B
$V = \dfrac{{{a^3}}}{6}$
C
$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
D
$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

Câu 17 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Đường thẳng $SC$ tạo với đáy góc ${45^0}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Thể tích của khối chóp $S.MCDN$ là:

A

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
C

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$

Câu 18 :

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, $AB = 6a,AC = 7a,AD = 4a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$. Thể tích $V$ của tứ diện $AMNP$ là:

A

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B

$V = 14{a^3}$
C

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D

$V = 7{a^3}$

Câu 19 :

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Câu 20 :

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ có $AB = a$ , mặt bên $ABB'A'$ là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với $AB'$ chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?

A

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{24}}$
B

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}$
C

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}$
D

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{5{a^3}}}{{24}}$

Câu 21 :

Cho hình lăng trụ xiên $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều với tâm $O$. Hình chiếu của $C’$ trên $(ABC) $ là $O$. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ $O$ đến $CC’$ là $a$ và 2 mặt bên $(ACC’A’)$ và $(BCC’B’)$ hợp với nhau góc ${90^0}$.

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
B

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
C

$\dfrac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{8}$

Câu 22 :

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân $AB = AC = a;\widehat {BAC} = {120^0}$ và $AB'$ vuông góc với $\left( {A'B'C'} \right)$ . Mặt phẳng $\left( {AA'C'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ một góc ${30^0}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$\dfrac{{8{a^3}}}{3}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

Câu 23 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a\sqrt 3 $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$4{a^3}\sqrt 3 $
C

${a^3}\sqrt 3 $
D

$\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 24 :

Cho khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của $3$ cạnh. Kí hiệu $D$ là số đỉnh, $C$ là số cạnh. Chọn mệnh đề đúng:

A

$3C = 2D$
B

$C = D$
C

$C = 3D$
D

$2C = 3D$

Câu 25 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = k$. Xác định $k$ sao cho mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}$
B

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
C

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}$
D

$k = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:

A

$3$
B

$6$
C

$4$
D

$9$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Vẽ hình hộp chữ nhật, xác định mặt phẳng đối xứng.

Lời giải chi tiết :

Hình hộp chữ nhật có $3$ mặt phẳng đối xứng, đó là mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đối diện.

Câu 2 :

Khối đa diện đều có $20$ mặt thì có bao nhiêu cạnh?

A

$24$
B

$12$
C

$30$
D

$60$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Khối đa diện $20$ mặt đều thuộc loại $\left\{ {3;5} \right\}$ nên mỗi mặt có $3$ cạnh

Mỗi cạnh là cạnh chung của $2$ mặt nên tổng số cạnh của đa diện là $20.3:2 = 30$ (cạnh)

Câu 3 :

A

$k = \dfrac{1}{2}$
B

$k = 2$
C

$k = \dfrac{1}{3}$
D

$k = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC' $

$\Rightarrow \overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} $

Do đó phép vị tự tâm $S$ tỉ số $k = \dfrac{1}{3}$ biến các điểm $A,B,C$ thành $A',B',C'$.

Câu 4 :

Hình tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng?

A

$6$
B

$5$
C

$4$
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tứ diện đều để tìm mặt phẳng đối xứng.

Lời giải chi tiết :

Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng đi qua 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện. Vì tứ diện đều có 6 cạnh nên có 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 5 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
B

Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
C

Khối hộp là khối đa diện lồi.
D

Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác đều là khối đa diện lồi.

Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc được một khối đa diện lồi.

Câu 6 :

Cho khối chóp tam giác $S.ABC$, trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$. Khi đó:

A

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
B

$\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
C

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
D

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $A',B',C'$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác $S.ABC$. Khi đó:

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Câu 7 :

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng $BD' = a\sqrt 6 $ . Tính thể tích của khối lăng trụ?

A

${a^3}\sqrt 2 $
B

${a^3}\sqrt 3 $
C

$3{a^3}$
D

$2{a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính diện tích đáy ${S_{A'B'C'D'}}$ và độ dài đường cao $BB'$.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$.

Lời giải chi tiết :

Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên $B'D' = a\sqrt 2 $

$BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot B'D' \Rightarrow \Delta BB'D'$ vuông tại $B' \Rightarrow BB' = \sqrt {BD{'^2} - B'D{'^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a$

Vậy ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BB'.{S_{ABCD}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}$

Câu 8 :

Phép dời hình biến đoạn thẳng thành:

A

đoạn thẳng dài bằng nó
B

đoạn thẳng vuông góc với nó
C

đoạn thẳng song song với nó
D

đoạn thẳng dài gấp đôi nó

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa $2$ điểm nên đoạn thẳng sẽ có độ dài bằng đoạn thẳng đã cho.

Câu 9 :

Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?

A

chung đỉnh
B

cạnh bên bằng nhau
C

khoảng cách $2$ đỉnh bằng $a$
D

không cần bổ sung điều kiện gì

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất: Hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng nhau.

- Sử dụng dấu hiệu: Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì cả hai hình chóp tam giác đều có cách cạnh đáy bằng nhau và bằng $a$ nên chúng chỉ cần có các cạnh bên bằng nhau là đủ.

Câu 10 :

Trong các kí hiệu sau, kí hiệu nào không phải của khối đa diện đều?

A

$\left\{ {3;3} \right\}$
B

$\left\{ {4;3} \right\}$
C

$\left\{ {5;3} \right\}$
D

$\left\{ {4;4} \right\}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Có $5$ khối đa diện, đó các loại $\left\{ {3;3} \right\},\left\{ {4;3} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {5;3} \right\},\left\{ {3;5} \right\}$

Vậy kí hiệu $\left\{ {4;4} \right\}$ không phải kí hiệu của khối đa diện đều nào cả.

Câu 11 :

Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?

A

Hình a
B

Hình c
C

Hình d
D

Hình b

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất khối đa diện: mối cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.

Lời giải chi tiết :

Trong các hình đã cho chỉ có hình a) là khối đa diện.

Hình b) có 3 cạnh ở trên không phải cạnh chung của 2 mặt, hình c) và d) có 1 cạnh là không là cạnh chung của 2 mặt.

Câu 12 :

Khối đa diện đều loại $\left\{ {n;p} \right\}$ thì $n$ là:

A

số đỉnh mỗi mặt
B

số đỉnh
C

số mặt
D

số cạnh đi qua một đỉnh

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

- Khối đa diện đều loại $\left\{ {n;p} \right\}$:

+ $n$ là số cạnh của mỗi mặt.

+ $p$ là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.

Vì số đỉnh mỗi mặt bằng số cạnh mỗi mặt nên $n$ cũng số đỉnh mỗi mặt.

Câu 13 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A

Hình 1
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 4

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bốn hình, có hình C có cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vậy hình này không phải khối đa diện.

Câu 14 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A

Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh
B

Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh
C

Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó
D

Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ về hình tứ diện để nhận xét các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác. Hình đa diện nhỏ nhất là hình chóp tam giác.

B sai vì hình chóp tam giác có $4$ đỉnh

C sai vì số đỉnh của hình đa diện luôn nhỏ hơn số cạnh

D sai vì số mặt của hình đa diện luôn nhỏ hơn số cạnh

Câu 15 :

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A_1}$. Thể tích khối chóp $M.BC{A_1}$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Chứng minh thể tích hai khối tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có thể tích bằng nhau.

- Tính thể tích khối tứ diện $MABC$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên có diện tích ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Ta có $AM = \dfrac{{A{A_1}}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Hai tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có chung đỉnh $C$, diện tích hai đáy $MAB$ và $M{A_1}B$ bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra

${V_{M.BC{A_1}}} = {V_{M.ABC}} = \dfrac{1}{3}AM.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$

Câu 16 :

A
$V = \dfrac{{{a^3}}}{2}$
B
$V = \dfrac{{{a^3}}}{6}$
C
$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
D
$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định chiều cao hình chóp

Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp

Lời giải chi tiết :

Trong $mp(SBC)$ kẻ $SH \bot BC\left( {H \in BC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right),H$ là trung điểm $BC$

Xét tam giác vuông $ABC$ có $BC = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a \Rightarrow \Delta SBC$ đều cạnh $2a$

$ \Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{6}SH.AB.AC = \dfrac{1}{2}{a^3}$

Câu 17 :

A

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
C

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và tính $SA$.

- Xác định góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính diện tích đáy $MCDN$.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

$\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}$

(vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A \Rightarrow \widehat {SCA} < {90^o}$)

$ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 $

$\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {a^2}\\{S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\\{S_{BCM}} = \dfrac{1}{2}BM.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {S_{MCDN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMN}} - {S_{BCM}} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.MCDN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{MCDN}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\end{array}$

Câu 18 :

A

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B

$V = 14{a^3}$
C

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D

$V = 7{a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính thể tích các khối chóp ${{V_{DAPN}}}$, ${{V_{BAPM}}}$, ${V_{CAMN}}$ và $ V_{ABCD}$ rồi tính ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} $ $- {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$ABCD$ là tứ diện vuông tại $A$ nên ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}$.

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

$\dfrac{{{V_{DAPN}}}}{{{V_{DABC}}}} = \dfrac{{DA}}{{DA}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{{DN}}{{DC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{DAPN}} = \dfrac{1}{4}{V_{DABC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{BAPM}}}}{{{V_{BADC}}}} = \dfrac{{BA}}{{BA}}.\dfrac{{BP}}{{BD}}.\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{BAPM}} = \dfrac{1}{4}{V_{BADC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{CAMN}}}}{{{V_{CABD}}}} = \dfrac{{CA}}{{CA}}.\dfrac{{CM}}{{CB}}.\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{CAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{CABD}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

Do đó ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} = 28{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} = 7{a^3}$

Câu 19 :

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính thể tích khối chóp ${V_{C.A'AB}}$

- Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABB’A’$. Ta có $CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB$

$\Delta COA = \Delta COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Lại có $AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'$ là hình vuông

Khi đó $OA = OB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$

Xét tam giác vuông $OAC$ có: $OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \dfrac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Mà ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$

Câu 20 :

A

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{24}}$
B

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}$
C

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}$
D

${V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{5{a^3}}}{{24}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Dựng mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB'$ (là mặt phẳng $\left( {DIC} \right)$ với $D$ là trung điểm của $AA'$.

- Tính diện tích tam giác $ABC$, từ đó suy ra diện tích tam giác $AIC$.

- Tính độ dài đường cao $A'A$ của lăng trụ và độ dài đường cao $DA$ của hình chóp $D.AIC$.

- Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khối chóp $D.AIC$, từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng $\left( {DIC} \right)$

Lời giải chi tiết :

Gọi $D$ là trung điểm của $AA'$ ta có $ID$ là đường trung bình của tam giác $AA'B \Rightarrow ID//A'B$

Mà $A'B \bot AB'$ (do $ABB'A'$ là hình vuông)

$ \Rightarrow ID \bot AB'$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $IC \bot AB$. Mà $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC$

$ \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'$

$ \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)$

$ \Rightarrow $ Mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với $AB'$ là $\left( {ICD} \right)$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$

$ABB'A'$ là hình vuông $ \Rightarrow AA' = AB = a$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V$

Ta có: ${V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}$

$ \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}$

Câu 21 :

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
B

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
C

$\dfrac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{8}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng nằm trong các mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính độ dài đường cao và diện tích đáy lăng trụ.

- Tính thể tích lăng trụ theo công thức $V = Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Gọi $D$ là trung điểm của $AB$. Trong $(CC’D)$ kẻ $OH \bot CC' \Rightarrow OH = a$

$\left. \begin{array}{l}CD \bot AB\\C'O \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CC'D} \right) \Rightarrow AB \bot CC'$

Trong $(ABC)$, qua $O$ kẻ $EF // AB$ $\left( {E \in BC;F \in AC} \right)$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}EF \bot CC'\\OH \bot CC'\end{array} \right\} \Rightarrow CC' \bot \left( {EFH} \right) \Rightarrow CC' \bot HE;CC' \bot HF$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = CC'\\\left( {ACC'A'} \right) \supset HF \bot CC'\\\left( {BCC'B'} \right) \supset HE \bot CC'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {HF;HE} \right)} = {90^0} \Rightarrow HE \bot HF$

$ \Rightarrow \Delta HEF$ vuông tại $H$

$\Delta HCE = \Delta HCF\left( {c.g.v - c.h} \right) \Rightarrow HE = HF \Rightarrow \Delta HEF$ vuông cân tại H$ \Rightarrow EF = 2HO = 2a$

Ta có: $\dfrac{{EF}}{{AB}} = \dfrac{{CO}}{{CD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AB = \dfrac{3}{2}EF = \dfrac{3}{2}.2a = 3a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

$CD = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CO = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $

$C'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow C'O \bot CO \Rightarrow \Delta CC'O$ vuông tại O

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{C'{O^2}}} + \dfrac{1}{{C{O^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{C'{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{C{O^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow C'O = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = C'O.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{8}$

Câu 22 :

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$\dfrac{{8{a^3}}}{3}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính diện tích đáy ${S_{A'B'C'}}$ và đường cao $AB'$.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Trong (A’B’C’) kẻ $B'K \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AB' \bot A'C'\left( {AB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\\B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {AB'K} \right) \Rightarrow A'C' \bot AK$

$\left. \begin{array}{l}\left( {AA'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'C'\\\left( {AA'C'} \right) \supset AK \bot A'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AA'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AK;B'K} \right)} = \widehat {AKB'} = {30^0}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin 120 = \dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2}B'K.A'C'\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{2{S_{A'B'C'}}}}{{A'C'}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

$AB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AB' \bot B'K \Rightarrow \Delta AB'K$ vuông tại B’

$ \Rightarrow AB' = B'K.tan30 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AB'.{S_{A'B'C'}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$

Câu 23 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a\sqrt 3 $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$4{a^3}\sqrt 3 $
C

${a^3}\sqrt 3 $
D

$\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $SA$ chéo nhau bằng cách tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (chính là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng).

- Tính diện tích đáy ${S_{ABCD}}$ và chiều cao $SO$, từ đó tính được thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$

Ta có:

$\begin{array}{l}AB//CD \Rightarrow SA \subset \left( {SAB} \right)//CD\\ \Rightarrow d\left( {CD;SA} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}OF \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOF} \right)$

Trong $\left( {SOF} \right)$ kẻ $OH \bot SF\,\,\left( 1 \right)$

Vì $AB \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow AB \bot OH\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông SOF có: $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{F^2}}}$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{F^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3 $

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 24 :

Cho khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của $3$ cạnh. Kí hiệu $D$ là số đỉnh, $C$ là số cạnh. Chọn mệnh đề đúng:

A

$3C = 2D$
B

$C = D$
C

$C = 3D$
D

$2C = 3D$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của $3$ cạnh nên $D$ đỉnh có $3D$ cạnh.

Tuy nhiên mỗi cạnh lại là cạnh chung của $2$ đỉnh nên $2C = 3D$.

Câu 25 :

A

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}$
B

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$
C

$k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}$
D

$k = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$.

- Chia khối chóp $S.BCNM$ thành hai phần $S.BCM$ và $S.CNM$ và tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp đó với các khối chóp $S.ABC$ và $S.ACD$.

- Tính tỉ lệ thể tích của khối chóp $S.BCNM$ với khối chóp $S.ABCD$, từ đó dựa vào điều kiện đề bài tìm $k$.

Lời giải chi tiết :

Vì $BC//AD$ nên mặt phẳng $\left( {BMC} \right)$ cắt $\left( {SAD} \right)$ theo đoạn thẳng $MN//AD\left( {N \in SD} \right)$

Vì $MN//AD \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = k$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k.{V_{S.ABC}} = \dfrac{k}{2}.{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2}.{V_{S.ADC}} = \dfrac{{{k^2}}}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.MNC}} = \left( {\dfrac{k}{2} + \dfrac{{{k^2}}}{2}} \right){V_{S.ABCD}}\end{array}$

Để mặt phẳng $\left( {BMNC} \right)$ chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì $\dfrac{k}{2} + \dfrac{{{k^2}}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ do $k > 0$.

Bài liên quan