Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 4: Số phức - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2-i} \right)z = 7-i$ . Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình dưới.

A

Điểm $P$
B

Điểm $Q$
C

Điểm $M$
D

Điểm $N$

Câu 2 :

Cho ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2iz + i = 0$. Chọn mệnh đề đúng:

A

${z_1} + {z_2} = 2i$
B

${z_1}{z_2} = - 2i$
C

${z_1}{z_2} = 2i$
D

${z_1} + {z_2} = - 2i$

Câu 3 :

Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức $w = iz + \overline z $.

A

$w = 7-3i$
B

$w = -3-3i$
C

$w = 3 + 7i$
D

$w = -7-7i$

Câu 4 :

Căn bậc hai của số $a = - 3$ là:

A

$3i$ và $ - 3i$
B

$3\sqrt i $ và $ - 3\sqrt i $
C

$i\sqrt 3 $ và $ - i\sqrt 3 $
D

$\sqrt {3i} $ và $ - \sqrt {3i} $

Câu 5 :

Cho phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
B

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
C

Phương trình đã cho không có nghiệm phức
D

Phương trình đã cho không có nghiệm thực

Câu 6 :

Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó

A

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
B

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
D

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.

Câu 7 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Câu 8 :

Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $\bar z$ làm nghiệm với mọi $a,b$ là:

A

${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi$
B

${z^2} = {a^2} + {b^2}$
C

${z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0$
D

${z^2} + 2az + {a^2} - {b^2} = 0$

Câu 9 :

Hai số phức $z = a + bi,z' = a + b'i$ bằng nhau nếu:

A

$a = b'$
B

$a = b$
C

$b = b'$
D

$a = - b$

Câu 10 :

Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức $w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z $

A

$w = 16 + 7i$
B

$w = 4 + 7i$
C

$w = 7 + 5i$
D

$w = 7 + 4i$

Câu 11 :

Biết rằng phương trình ${z^2} + bz + c = 0\left( {b;c \in R} \right)$ có một nghiệm phức là ${z_1} = 1 + 2i$ . Khi đó:

A

$b + c = 0$
B

$b + c = 3$
C

$b + c = 2$
D

$b + c = 7$

Câu 12 :

Số phức $w$ là căn bậc hai của số phức $z$ nếu:

A

${z^2} = w$
B

${w^2} = z$
C

$\sqrt w = z$
D

$z = \pm \sqrt w $

Câu 13 :

Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2\sqrt 2 i$. Tìm $a,b.$

A

$a = 3,b = 2.$
B

$a = 3,b = 2\sqrt 2 .$
C

$a = 3,b = \sqrt 2 .$
D

$a = 3,b = - 2\sqrt 2 .$

Câu 14 :

Phương trình bậc hai trên tập số phức có thể có mấy nghiệm?

A

$1$
B

$2$
C

$0$
D

Cả A và B đều đúng

Câu 15 :

Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:

A

$z = i$
B

$z = 1 + i$
C

$z = 1 - i$
D

$z = 1$

Câu 16 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Câu 17 :

Cho số phức $z = a + bi(ab \ne 0)$. Tìm phần thực của số phức ${\rm{w}} = \dfrac{1}{{{z^2}}}$.

A

$ - \dfrac{{ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
B

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
C

$\dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
D

$\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.

Câu 18 :

Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$. Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$.

A

$T = 4$
B

$T = 2\sqrt 3 $
C

$T = 4 + 2\sqrt 3 $
D

$T = 2 + 2\sqrt 3 $

Câu 19 :

Kí hiệu ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}.$

A

$P = 1.$
B

$P = 2.$
C

$P = - 1.$
D

$P = 0.$

Câu 20 :

Gọi ${z_1};{z_2};{z_3};{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0$. Tổng $T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}$ bằng:

A

$5\sqrt 2 $
B

$5$
C

$\sqrt 2 $
D

$3\sqrt 2 $

Câu 21 :

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau ${z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i$. Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Câu 22 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

A

$2$
B

$3$
C

$4$
D

$0$

Câu 23 :

Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$, biết rằng $z$ thỏa mãn điều kiện $|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1$.

A

$\sqrt 2 $
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 24 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Câu 25 :

Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 $. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $\left| {z - 1 + i} \right|$. Tính $P = m + M$.

A

$P = \sqrt {13} + \sqrt {73} $
B

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
C

$P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} $
D

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2-i} \right)z = 7-i$ . Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình dưới.

A

Điểm $P$
B

Điểm $Q$
C

Điểm $M$
D

Điểm $N$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Biến đổi, sử dụng các quy tắc về cộng trừ, nhân chia số phức để tìm ra số phức $z$

+ Nếu $z = a + bi$ thì điểm có tọa độ $\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$

Lời giải chi tiết :

$\left( {2 - i} \right)z = 7 - i \Rightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - i)(2 + i)}}{5} = \dfrac{{15 + 5i}}{5} = 3 + i$

Suy ra điểm có tọa độ $\left( {3;1} \right)$ sẽ biểu diễn số phức $z$, suy ra $M$ thỏa mãn.

Câu 2 :

Cho ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2iz + i = 0$. Chọn mệnh đề đúng:

A

${z_1} + {z_2} = 2i$
B

${z_1}{z_2} = - 2i$
C

${z_1}{z_2} = 2i$
D

${z_1} + {z_2} = - 2i$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.$

Vậy ${z_1} + {z_2} = - 2i$.

Câu 3 :

Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức $w = iz + \overline z $.

A

$w = 7-3i$
B

$w = -3-3i$
C

$w = 3 + 7i$
D

$w = -7-7i$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm số phức $\overline z = a - bi$.

- Thay $z,\overline z $ vào $w$, sử dụng các công thức cộng và nhân số phức để tìm $w$.

Lời giải chi tiết :

$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i = - 3 - 3i$.

Câu 4 :

Căn bậc hai của số $a = - 3$ là:

A

$3i$ và $ - 3i$
B

$3\sqrt i $ và $ - 3\sqrt i $
C

$i\sqrt 3 $ và $ - i\sqrt 3 $
D

$\sqrt {3i} $ và $ - \sqrt {3i} $

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Căn bậc hai của số $a = - 3$ là $i\sqrt 3 $ và $ - i\sqrt 3 $.

Câu 5 :

Cho phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
B

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
C

Phương trình đã cho không có nghiệm phức
D

Phương trình đã cho không có nghiệm thực

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $\Delta $ từ đó giải phương trình theo $\Delta $

Lời giải chi tiết :

$\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0 \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm là $z = 1 + i$ và $z = 1 - i$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phức.

Do đó các đáp án A, B, D đều đúng

Câu 6 :

Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó

A

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
B

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
D

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho số phức $ z = a + bi\Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{(a - bi)(a + bi)}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} - {{(bi)}^2}}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $

$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$

Câu 7 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $a - bi$.

Phần thực và phần ảo của $z = a + bi$ lần lượt là $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$.

Câu 8 :

Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $\bar z$ làm nghiệm với mọi $a,b$ là:

A

${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi$
B

${z^2} = {a^2} + {b^2}$
C

${z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0$
D

${z^2} + 2az + {a^2} - {b^2} = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải từng phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: $z = a + bi$ hoặc $z = - a - bi$ (loại)

Đáp án B: $z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ (loại)

Đáp án C: Giải phương trình bậc hai ẩn $z$ có nghiệm $z = a + bi;z = a - bi$ (thỏa mãn)

Đáp án D: Giải phương trình ta được hai nghiệm $a \pm b$ nên loại.

Câu 9 :

Hai số phức $z = a + bi,z' = a + b'i$ bằng nhau nếu:

A

$a = b'$
B

$a = b$
C

$b = b'$
D

$a = - b$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai số phức $z = a + bi,z' = a + b'i$ bằng nhau nếu $b = b'$

Câu 10 :

Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức $w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z $

A

$w = 16 + 7i$
B

$w = 4 + 7i$
C

$w = 7 + 5i$
D

$w = 7 + 4i$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường

+$z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$

Lời giải chi tiết :

${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $

$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$

Câu 11 :

Biết rằng phương trình ${z^2} + bz + c = 0\left( {b;c \in R} \right)$ có một nghiệm phức là ${z_1} = 1 + 2i$ . Khi đó:

A

$b + c = 0$
B

$b + c = 3$
C

$b + c = 2$
D

$b + c = 7$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay nghiệm phức đầu bài cho vào phương trình từ đó tìm được $b,c$

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$\begin{array}{l}{(1 + 2i)^2} + b(1 + 2i) + c = 0 \Leftrightarrow - 3 + 4i + b + 2bi + c = 0\\ \Leftrightarrow ( - 3 + b + c) + (4 + 2b)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + b + c = 0\\4 + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b + c = 3\end{array}$

Câu 12 :

Số phức $w$ là căn bậc hai của số phức $z$ nếu:

A

${z^2} = w$
B

${w^2} = z$
C

$\sqrt w = z$
D

$z = \pm \sqrt w $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Số phức $w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ nếu ${w^2} = z$.

Câu 13 :

Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2\sqrt 2 i$. Tìm $a,b.$

A

$a = 3,b = 2.$
B

$a = 3,b = 2\sqrt 2 .$
C

$a = 3,b = \sqrt 2 .$
D

$a = 3,b = - 2\sqrt 2 .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa về số phức: $z = a + bi,a,b \in R$, trong đó $a$ là phần thực của số phức và $b$ là phần ảo của số phức

Lời giải chi tiết :

Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Câu 14 :

Phương trình bậc hai trên tập số phức có thể có mấy nghiệm?

A

$1$
B

$2$
C

$0$
D

Cả A và B đều đúng

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Phương trình bậc hai có thể có $1$ nghiệm nếu $\Delta = 0$ hoặc $2$ nghiệm nếu $\Delta \ne 0$.

Câu 15 :

Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:

A

$z = i$
B

$z = 1 + i$
C

$z = 1 - i$
D

$z = 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Áp dụng: ${i^2} = - 1;{i^3} = {i^2}.i = - i;{i^4} = {i^3}.i = 1...$

Lời giải chi tiết :

$z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9} = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = 1 + i$

Câu 16 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $

Câu 17 :

Cho số phức $z = a + bi(ab \ne 0)$. Tìm phần thực của số phức ${\rm{w}} = \dfrac{1}{{{z^2}}}$.

A

$ - \dfrac{{ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
B

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
C

$\dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.
D

$\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số phức $z = a + bi$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$

Lời giải chi tiết :

$z = a + bi $ $\Rightarrow {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} $ $= {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} $ $= {a^2} - {b^2} + 2abi$

$w = \dfrac{1}{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}} $ $= \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2} + 2abi}} $ $ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {2abi} \right)}^2}}} $

$ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 4{a^2}{b^2}{i^2}}} $ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^2}}} $ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}}} $ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{2ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}i$

Nên phần thực của số phức $w$ là : $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.

Câu 18 :

A

$T = 4$
B

$T = 2\sqrt 3 $
C

$T = 4 + 2\sqrt 3 $
D

$T = 2 + 2\sqrt 3 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đưa phương trình về dạng tích $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{z^4} - {z^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 4} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 2\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow T = 2 + 2 + \sqrt 3 + \sqrt 3 = 4 + 2\sqrt 3 \end{array}$

Câu 19 :

Kí hiệu ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}.$

A

$P = 1.$
B

$P = 2.$
C

$P = - 1.$
D

$P = 0.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình bậc 2 trong số phức. Sau đó tìm ra các nghiệm $z$ và thay vào $P$ để tính.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{z^2} + z + 1 = 0\\\Delta = 1 - 4 = - 3 = 3{i^2}\\z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

$z = - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i $

$\Rightarrow P = {( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)^2} + {( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)^2} + ( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$

$= - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 0$

Câu 20 :

Gọi ${z_1};{z_2};{z_3};{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0$. Tổng $T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}$ bằng:

A

$5\sqrt 2 $
B

$5$
C

$\sqrt 2 $
D

$3\sqrt 2 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải phương trình phức từ đó tính tổng.

Lời giải chi tiết :

$2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 \\z = \pm i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2} = 2 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 5$

Câu 21 :

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 22 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

A

$2$
B

$3$
C

$4$
D

$0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Số phức $z$ là số ảo nếu $a = 0$

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = a + bi$

Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)

${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$

Do ${z^2}$ là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$

Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.

Câu 23 :

Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$, biết rằng $z$ thỏa mãn điều kiện $|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1$.

A

$\sqrt 2 $
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi $z = x + yi$, thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ $x,y$.

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho $\left| z \right|$ đạt GTLN.

Lời giải chi tiết :

Có $\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} = - i$. Đặt $z = x + yi$ thì

$\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 = - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành ${(y + 1)^2} + {x^2} = 1$

Điểm biểu diễn $M(x,y)$ của $z$ chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.

Cần tìm điểm $M(x,y)$ thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.

Vì $O$ nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) $ \Leftrightarrow $ $I$ là trung điểm của $OM$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y = - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)$. Suy ra $z = - 2i \Leftrightarrow |z| = 2$

Vậy $\max \left| z \right| = 2$

Câu 24 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$

- Bước 2: Thay $z$ vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$ suy ra tập hợp biểu diễn của số phức $z$.

- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của $x,y$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Câu 25 :

A

$P = \sqrt {13} + \sqrt {73} $
B

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
C

$P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} $
D

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.

- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$

Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì

$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$

Do đó $P{C_{\min }}$ khi $P$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$ và $P{C_{\max }}$ khi $P \equiv B$

Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.

Ta có: $AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0$$ \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$

Bài liên quan