Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 4: Giới hạn - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Câu 2 :
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Câu 3 :
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:
Câu 4 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Câu 5 :
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng $ + \infty $?
Câu 6 :
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\) là:
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:
Câu 8 :
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
Câu 9 :
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \) và \(\lim {v_n} = - 2\sqrt 3 \). Giới hạn \(I = \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
Câu 10 :
Chọn đáp án đúng:
Câu 11 :
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
Câu 12 :
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
Câu 13 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
Câu 14 :
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
Câu 15 :
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
Câu 16 :
Giá trị của \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\) bằng:
Câu 17 :
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 18 :
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)$ bằng?
Câu 19 :
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
Câu 20 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,\,x < 3,\,\,x \ne 1\\4 & {\rm{khi}}\,\,x = 1\\\sqrt {x + 1} & {\rm{khi}}\,\,x \ge 3\end{array} \right.\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại:
Câu 21 :
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\{3x + m}&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = 1.\)
Câu 22 :
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
Câu 23 :
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
Câu 24 :
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
Câu 25 :
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng lý thuyết: - Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) - Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {a; + \infty } \right)\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a; + \infty } \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\). Do đó ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 9.$ Lời giải chi tiết :
Hàm số liên tục trên \(\left( {0;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 9.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{9 - \left( {9 - x} \right)}}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }} = \dfrac{1}{6}$ Mà $f\left( 0 \right) = m$ $\Rightarrow $ để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} = m\). $\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \dfrac{{3 - 0}}{9} = \dfrac{1}{3}\\f\left( 9 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right\} $ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) $ $\Rightarrow $ hàm số liên tục tại $x = 9.$ Vậy với \(m = \dfrac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
Câu 2 :
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 1$ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^-}} f\left( x \right) =f\left( {{x_0}} \right)\) Tức là, ta cần tìm giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị của hàm số tại mỗi điểm cần xét tính liên tục. + Nếu hai giới hạn đó bằng nhau và bằng giá trị hàm số tại điểm đó thì hàm số liên tục. + Nếu giới hạn trái không bằng giới hạn phải thì hàm số không liên tục tại điểm xét. + Nếu hai giới hạn bằng nhau nhưng không bằng giá trị thì hàm số cũng không liên tục tại điểm xét. Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\) nên ta chỉ xét tính liên tục của \(y = f\left( x \right)\) tại các điểm \(x = 0,x = 1\). \(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0\\f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \) \(\Rightarrow \) hàm số liên tục tại $x = 0.$ \(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = \dfrac{1}{{1 + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \)Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) \( \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại $x = 1.$ Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1.$
Câu 3 :
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt \(x\) làm nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0\end{array} \right..\)
Câu 4 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n. Lời giải chi tiết :
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - 4}}{5} = \dfrac{{ - 4}}{5} = - \dfrac{4}{5}.$
Câu 5 :
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng $ + \infty $?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$. Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{1}{5}.\\\lim \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = + \infty .\\\lim \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{0}{5} = 0.\\\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = - \infty .\end{array}$
Câu 6 :
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thêm bớt số hạng, nhân liên hợp khử dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\) và tính giới hạn. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{2\sqrt {1 + x} - 2}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 1 + \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{13}}{{12}}.\)
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Khi \(x \to x_0^ - \) ta hiểu là \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\).
Câu 8 :
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}}\) mà \(\lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên suy ra \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0\)
Câu 9 :
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \) và \(\lim {v_n} = - 2\sqrt 3 \). Giới hạn \(I = \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng lý thuyết \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \sqrt 3 - 2\sqrt 3 = - \sqrt 3 < 0\).
Câu 10 :
Chọn đáp án đúng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \) nên A đúng, B sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = - \infty \) nên C và D đều sai.
Câu 11 :
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{1}{n}.{n^2}} \right) = \lim n = + \infty \).
Câu 12 :
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện của \(x\). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {x + 2} \right| = x + 2\) với mọi \(x > - 2,\) do đó : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = 3$
Câu 13 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$. Bước 2: Sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\). Lời giải chi tiết :
Bước 1: $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $ $= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$ Bước 2: $ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$
Câu 14 :
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n} = \dfrac{2}{n}\) có giới hạn \(0\).
Câu 15 :
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\) nên đáp án A đúng.
Câu 16 :
Giá trị của \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\) bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Khi tìm \(\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu. \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\) Chú ý: $\left[ \begin{array}{l}\lim \dfrac{0}{a} = 0\\\lim \dfrac{a}{0} = \infty \end{array} \right.$ (a là số bất kì, $a \in R$) Lời giải chi tiết :
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được : \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} + \dfrac{1}{n}}} = 0\).
Câu 17 :
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số. - Rút ra nhận xét. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\) Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$: * Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng * Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*). Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$ Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) \) \(= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \)$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $
Câu 18 :
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)$ bằng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $ Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất. Bước 3: Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$. Lời giải chi tiết :
Bước 1: $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} + x} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} + x} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 3 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}} \end{array}$ Bước 2: $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{3}{x}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + 1}} $ Bước 3: $= \dfrac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \dfrac{1}{2}$
Câu 19 :
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đưa $x - 1$ vào trong căn: $x - 1 = - \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $ - Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất. - Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$. Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}{{(x - 1)}^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right] \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}({x^2} - 2x + 1)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^4} - 2{x^3} + {x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}}}} } \right] = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Câu 20 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,\,x < 3,\,\,x \ne 1\\4 & {\rm{khi}}\,\,x = 1\\\sqrt {x + 1} & {\rm{khi}}\,\,x \ge 3\end{array} \right.\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Dễ thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {1;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 1.\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x + 1} \right) = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 3.\)
Câu 21 :
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\{3x + m}&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = 1.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\). Lời giải chi tiết :
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Theo giả thiết ta phải có $3 + m = f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow m = 0$
Câu 22 :
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và \(f\left( 0\right)\) Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) Lời giải chi tiết :
Bước 1: \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1} + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}\) Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b\)
Câu 23 :
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Biến đổi, rút gọn biểu thức ${v_n}$ rồi tính giới hạn. Lời giải chi tiết :
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2} - {u_n} \) \(= \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} - {u_n}}}{2} > \dfrac{{\sqrt {u_n^2} - {u_n}}}{2} = 0 \) \(\Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng. $\begin{array}{l}
Câu 24 :
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Biến đổi biểu thức, đưa về dạng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{1 + nx}} - 1}}{x}$ - Nhân liên hợp. Lời giải chi tiết :
Ta có: $\begin{array}{l}\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \sqrt {1 + 2x} - \sqrt {1 + 2x} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} - \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} \left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right)\end{array}$ Tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$ $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{3x}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{3\sqrt {1 + 2x} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \dfrac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{4x}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1}} = \dfrac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$ Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$
Câu 25 :
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\). Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\) Lời giải chi tiết :
Ta có: $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}.\dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{abx}}{{\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{b}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}} \right]\\ = 0 + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}\end{array}$ Để hàm số liên tục tại \(x = 0 \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{{2b}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3a + 4b = 0\) |