Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
Câu 2 :
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
Câu 3 :
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0\) với \(\pi \le x \le 5\pi \) là:
Câu 4 :
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Câu 5 :
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
Câu 6 :
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\) \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Câu 7 :
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}}} \)
Câu 8 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:
Câu 9 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
Câu 10 :
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
Câu 11 :
Chọn mệnh đề sai:
Câu 12 :
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
Câu 13 :
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Câu 14 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
Câu 15 :
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
Câu 16 :
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1\):
Câu 17 :
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
Câu 18 :
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
Câu 19 :
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
Câu 20 :
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Câu 21 :
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
Câu 22 :
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Câu 23 :
Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
Câu 24 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
Câu 25 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x\):
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Đặt \(\cot x = t\) và giải phương trình tìm \(t\), từ đó tìm \(x\). Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) Đặt \(\cot x = t\) khi đó phương trình có dạng $\sqrt 3 {t^2} - 4t + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\t = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\\cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)$
Câu 2 :
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác đặc biệt \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(\sin \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{40}} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\) Ta có: \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \(\Leftrightarrow 5x = \dfrac{{5\pi }}{8} + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 3 :
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0\) với \(\pi \le x \le 5\pi \) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = m\) rồi sử dụng phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) Mà \(\pi \le x \le 5\pi \Rightarrow \pi \le \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} \le k2\pi \le \dfrac{{19\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le k \le \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\) Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\).
Câu 4 :
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Điểm thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số. Lời giải chi tiết :
Nếu \(x = 0\) thì \(y = \tan 0 = 0\) nên điểm \(O\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \tan x\) B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta được $y=\tan x=\tan 0=0\ne 1$ C sai vì với $x=\dfrac{\pi}{2}$, không tồn tại $\tan \dfrac{\pi}{2}$ D sai vì với $x=1$ thì ta được $y=\tan 1 \ne 0$
Câu 5 :
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) Lời giải chi tiết :
\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - m\\c = 1\end{array} \right.\) Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) ) Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Câu 6 :
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\) \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\): \(a.\sin x+b.\cos x=c\) +) Nếu $a^2+b^2 \ge c$ thì chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$ +) Biến đổi $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\cos m$ và $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\sin m$. +) Sử dụng công thức cộng: $\sin a. \cos b+\sin b. \cos a=\sin (a+b)$ Bước 2: Giải phương trình tìm giá trị \(\alpha ,\beta \) và suy ra đáp án. $\sin x=\sin a$\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + k2\pi }\\{x =\pi-a + k2\pi }\end{array}} \right.\) Lời giải chi tiết :
Bước 1: \({\mkern 1mu} \sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\) Bước 2: \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}}}\\{\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right. \) (Vì $ - \dfrac{\pi }{{12}}$ và $ \dfrac{{5\pi }}{{12}}$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài) \(\Rightarrow \alpha .\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\)
Câu 7 :
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}}} \)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\). Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0\) Nhận thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \le 1,\forall x \Rightarrow 1 - \cos 3x \ge 0\\\sin 4x \ge - 1,\forall x \Rightarrow 1 + \sin 4x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0,\forall x\) Do đó hàm số xác định nếu: \(1 + \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 4x \ne - 1 \Leftrightarrow 4x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\)
Câu 8 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Đưa $\dfrac{1}{2}$ về dạng $\sin \alpha $ Sử dụng máy tính để tìm $\alpha $: SHIFT => MODE => 4 : chuyển về chế độ Radian SHIFT => SIN => (1/2) =>"=" Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) Bước 3: Xét từng họ nghiệm và thay vào $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ để tìm k sau đó thay k ngược lại để tìm x. Lời giải chi tiết :
Bước 1: Ta có: \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\) Bước 2: \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) Bước 3: +) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$ Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} $ \(\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}\) Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được: \(x = \dfrac{\pi }{6}\) +) Xét \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \) \(\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi \le - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} \le k \le - \dfrac{1}{6}\end{array}\) Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k thỏa mãn Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
Câu 9 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ và công thức \({\cos ^2}2x=(\cos 2x)^2\) Bước 2: Biến đổi hàm số về tam thức bậc hai ẩn \(t = \cos 2x\). Bước 3: Sử dụng kiến thức về hàm bậc hai $y=ax^2+bx+c$ để đánh giá GTLN, GTNN của \(y=f(x)\) trên [c;d] +) Tìm $f(c),f(d)$ và f tại đỉnh của parabol \(x=-\dfrac{b}{2a}\) +) GTLN và GTNN của 3 số tìm được chính là GTLN và GTNN của hàm số ban đầu. Lời giải chi tiết :
Bước 1: Theo công thức hạ bậc ta có: $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ =>\(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\)\( = 1 - \cos 2x + {\cos ^2}2x\) \(=(\cos 2x)^2- \cos 2x +1\) Bước 2: Đặt \(t = \cos 2x;t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta được \(y = f\left( t \right) = {t^2} - t + 1;t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Bước 3: Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - t + 1\) trên đoạn \( \in \left[ { - 1;1} \right]\). \( \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};f\left( { - 1} \right) = 3\) Số lớn nhất là $3$, số nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{4}\). \( \Rightarrow \max y = 3;\min y = \dfrac{3}{4}\).
Câu 10 :
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. Sử dụng công thức: $\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ Bước 2: Giải phương trình tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện. Sử dụng công thức: $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ $\sin x = -1 \Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ Lời giải chi tiết :
Bước 1: Điều kiện: \(1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Bước 2: \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 0 \) \(\Leftrightarrow {1-{\sin ^2}2x = 0} \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1 \)\(\Leftrightarrow \sin 2x = - 1\) (vì \(\sin 2x \ne 1\)) \( \Leftrightarrow 2x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) Đặt $k=l+1 $ ta được: \(- \dfrac{\pi }{4} + k\pi= - \dfrac{\pi }{4} + l\pi+\pi\)\(= \dfrac{{3\pi }}{4} + l\pi \left( {l \in Z} \right)\) Vậy $x= \dfrac{{3\pi }}{4} + l\pi \left( {l \in Z} \right)$ hay $x= \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {l \in Z} \right)$
Câu 11 :
Chọn mệnh đề sai:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Đáp án A: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A đúng. Đáp án B: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, C sai. Đáp án D: \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên D đúng.
Câu 12 :
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Câu 13 :
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Các hàm số \(y = \sin x,y = \tan x,y = \cot x\) đều là hàm số lẻ. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn vì $\cos x = \cos (-x)$
Câu 14 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Câu 15 :
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Giải phương trình bậc hai đối với \(\sin x\) tìm nghiệm. - Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn đơn vị và kết luận. Lời giải chi tiết :
\(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) Đặt \(\sin x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng: \(4{t^2} - 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) \(t = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\) Vây số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là 2 điểm như hình trên.
Câu 16 :
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1\):
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Biến đổi $(y+1)^2$ Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \({\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \). Bước 3: Xét dấu bằng xảy ra Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}\) Áp dụng công thức $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a + k\pi$ để tìm x. Lời giải chi tiết :
Bước 1: Ta có: \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1 \) \(\Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x\) \(\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} \) Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \({\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \) . Với $a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x$ Khi đó \({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)\( = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 \) \(\Rightarrow - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow - 6 \le y \le 4\) Bước 3: Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} \)\(\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi \)
Câu 17 :
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1\) để đánh giá biểu thức \(\sqrt {2\sin x + 3} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số. Lời giải chi tiết :
Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 \)\(\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 \)\(\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3} \le \sqrt 5 \). Dấu “=” xảy ra khi lần lượt \(\sin x = - 1\) và $\sin x = 1$
Câu 18 :
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = \sin y\) hoặc \(\cos x = \cos y\) Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$ - Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 19 :
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không. - Xét \(\cos x \ne 0\) thì chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), trở thành phương trình bậc hai với ẩn là \(\tan x\) - Giải phương trình trên tìm \(\tan x\) suy ra nghiệm \(x\). Lời giải chi tiết :
\(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\) Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\) Thay vào phương trình (*) ta có: \(6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\) (luôn đúng) \( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)là nghiệm của phương trình. Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(\begin{array}{l}6\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8 = \dfrac{6}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 6{\tan ^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 20 :
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không. - Xét \(\cos x \ne 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\). - Đặt \(t = \tan x\), điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình bậc hai ẩn \(t\) có nghiệm. Lời giải chi tiết :
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\) Thay vào phương trình ta có: \(1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - m\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3 = \dfrac{{2m}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){\tan ^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0\end{array}\) Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng \(\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) \(m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại \(m \ne \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12\) Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8 -2 \sqrt {61} }}{{15}} \le m \le \dfrac{{ - 8 + 2\sqrt {61} }}{{15}}\). Mà \(m \in Z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 0\end{array} \right.\)
Câu 21 :
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) Sử dụng các công thức \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\);\({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\) Bước 2: Giải các phương trình \(\cos x=0\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) Phương trình \(a.\sin x + b.\cos x = c\) vô nghiệm nếu \({a^2} + {b^2} < {c^2}\) Lời giải chi tiết :
Bước 1: \(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x \\\Leftrightarrow {\cos ^3}x + \cos x= \sin x -\sin ^3x \\\Leftrightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = \sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1} \right) = \sin x.{\cos ^2}x\end{array}\) $\Leftrightarrow \cos x\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1 - \sin x\cos x} \right) = 0$ \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \cos x.\dfrac{{1 + \cos 2x +2- \sin 2x}}{2} = 0\end{array}\) $ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \cos x\left( { - \sin 2x + \cos 2x + 3} \right) = 0$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( 1 \right)\\ - \sin 2x + \cos 2x + 3 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Bước 2: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) Xét (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\\c = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} < {c^2} \) \(\Rightarrow \) phương trình (2) vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là:\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu 22 :
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác. Lời giải chi tiết :
$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ $\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$ Vì \(\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1\)
Câu 23 :
Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Xét \(\cos 4x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không. - Xét \(\cos 4x \ne 0\), chia cả hai vế phương trình cho \({\cos ^2}4x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\), từ đó suy ra nghiệm của phương trình. Lời giải chi tiết :
Trường hợp 1: \(\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}4x = 1\)
Câu 24 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng phương pháp thế để rút \(x\) từ phương trình trên thay vào phương trình dưới. Bước 2: Giải phương trình dưới bằng cách sử dụng công thức \(\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\) Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ Lời giải chi tiết :
Bước 1: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{\pi }{3}\\\cos \left( {y + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos y = - 1\left( * \right)\end{array} \right.$ Bước 2: $\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\sin \dfrac{\pi }{6} = - 1\\ \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\dfrac{1}{2} = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\end{array}$ Bước 3: $\Leftrightarrow y + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$$\Rightarrow x = y + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 25 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x\):
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: ${\cos ^2}x=1 + \cos 2x$ và ${\sin ^2}x +{\cos ^2}x=1$ biến đổi hàm số đã cho về dạng \(y = a\sin u\left( x \right) + b\cos u\left( x \right)\) Bước 2: Biến đổi ${\left( {y + 1} \right)^2}$ Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – ki để đánh giá tìm max, min cho hàm số. Bước 4: Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{b}$ Lưu ý: $\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)=1$ Lời giải chi tiết :
Bước 1: Ta có \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x \) \(={\sin ^2}x +{\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x\) \(= 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x \) \(= 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x \) \(= 2 + 3\sin 2x + \cos 2x\) Bước 2: $\Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x $$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} $ Bước 3: $ {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$ Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki với $a=3;b=1;c=\sin 2x;d=\cos 2x$$ {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$ $\le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10.1=10$ $\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 10$ $\Rightarrow - \sqrt {10} \le y - 2 \le \sqrt {10} $ $\Rightarrow 2 - \sqrt {10} \le y \le 2 + \sqrt {10}$ Bước 4: Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{3} = \dfrac{{\cos 2x}}{1} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{\cos 2x}=3\Leftrightarrow \tan 2x = 3\) \( \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{{\arctan 3}}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\). |