Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 12 - Đề số 4

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.$.

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 2 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Hàm số $y = \sin x$ có chu kỳ $T = \pi $
B

Hàm số $y = \cos x$ và hàm số $y = \tan x$ có cùng chu kỳ.
C

Hàm số $y = \cot x$ và hàm số $y = \tan x$ có cùng chu kỳ.
D

Hàm số $y = \cot x$ có chu kỳ $T = 2\pi $

Câu 3 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{3}.$
C

$ - \dfrac{1}{4}.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Câu 4 :

Cho biểu thức $S = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$S = {2^n} - 2n + 2$
B

$S = {2^n} - 2$
C

$S = {2^n} - 2n - 2$
D

$S = {2^n} + n - 1$

Câu 5 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}$ ($a \ne 1$ là số cho trước)

A

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$

Câu 6 :

Cho hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $0.$
B

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to -\infty $ là $2.$
C

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $-2.$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$

Câu 7 :

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: ${x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0$, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

A

$ - \dfrac{{343}}{8}$
B

$\dfrac{{721}}{8}$
C

$ - \dfrac{{721}}{8}$
D

$\dfrac{{343}}{8}$

Câu 8 :

Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.

A

$\dfrac{1}{{125}}$.
B

$\dfrac{1}{{126}}$.
C

$\dfrac{1}{{36}}$.
D

$\dfrac{{13}}{{36}}$.

Câu 9 :

Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

Vô số

Câu 10 :

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I$, $EG$ cắt $AD$ tại $H$. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A

$CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.$
B

$CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.$
C

$AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$.
D

$AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.$

Câu 11 :

Cho các mệnh đề sau:

a) Nếu a // (P) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).

b) Nếu a // (P) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P).

c) Nếu a // (P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a

d) Nếu a // (P) thì tồn tại đường thẳng d nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng.

Số mệnh đề đúng là:

A

1.
B

2.
C

3.
D

4.

Câu 12 :

Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:

A

Chéo nhau
B

có hai điểm chung
C

song song
D

có một điểm chung

Câu 13 :

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?

A

AD // (BEF)
B

(AFD) // (BEC)
C

(ABD) // (EFC)
D

EC // (ABF)

Câu 14 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). $A'B'C'D'$ là hình bình hành khi và chỉ khi:

A

$\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)$
B

$\left( \alpha \right)$ và $(ABCD)$ cắt nhau
C

$\left( \alpha \right)$ và $(ABCD)$ trùng nhau
D

$\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$

Câu 15 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$AB \bot \left( {ABC} \right)$.
B

$AC \bot BD$.
C

$CD \bot \left( {ABD} \right)$.
D

$BC \bot AD$.

Câu 16 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác cân ở $C$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$CH \bot HK$
B

$AB \bot \left( {CHK} \right)$
C

$CH \bot AK$
D

$BC \bot \left( {SAC} \right)$

Câu 17 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$

A

${60^0}$
B

${75^0}$
C

${45^0}$
D

${30^0}$

Câu 18 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Độ dài $SG$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
B

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
C

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
D

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

Câu 19 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu 20 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Ba mặt phẳng $\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)$ đôi một vuông góc.
B

Hình chiếu của A lên mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là trực tâm của tam giác BCD.
C

Tam giác BCD vuông.
D

Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

Câu 21 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$

A

$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.$
B

$d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
C

$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
D

$d = a$

Câu 22 :

Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB = 3a, BC = 4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC,$ tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM.$

A

$d = a\sqrt 3 .$
B

$d = 5a\sqrt 3 .$
C

$d = \dfrac{{5a}}{2}.$
D

$d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.$

Câu 23 :

Hàm số $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 3} \right|$ được viết lại là

A

$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
B

$y = \left\{ \begin{array}{l}2x - 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x + 2\,\,\,khi\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
C

$y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x - 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
D

$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.

Câu 24 :

Tìm điểm $A$ cố định mà họ đồ thị hàm số $y = {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 3m\,\,\left( {{P_m}} \right)$ luôn đi qua.

A

$A\left( {3;\,\,15} \right)$
B

$A\left( {0;\,\, - 2} \right)$
C

$A\left( {3;\,\, - 15} \right)$
D

$A\left( { - 3;\,\, - 15} \right)$

Câu 25 :

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm $\left( {x;y} \right)$ ?

A

$1.$
B

$0.$
C

$2.$
D

$3.$

Câu 26 :

Cho bất phương trình$ - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

$\left( {1;1} \right) \in S$.
B

$\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S$.
C

$\left( {1; - 2} \right) \notin S$.
D

$\left( {1;0} \right) \notin S$.

Câu 27 :

Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.$?

A

$\left( { - 1;4} \right)$.
B

$\left( { - 2;4} \right)$.
C

$\left( {0;0} \right)$.
D

$\left( { - 3;4} \right)$.

Câu 28 :

Cho hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\\x + \dfrac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.$. Gọi ${S_1}$ là tập nghiệm của bất phương trình (1), ${S_2}$ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và $S$ là tập nghiệm của hệ thì

A

${S_1} \subset {S_2}$.
B

${S_2} \subset {S_1}$.
C

${S_2} = S$.
D

${S_1} \ne S$.

Câu 29 :

Biết $\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.$ Tính $\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$ theo m và n.

A

$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
B

$m - 3n$
C

$m + 3n$
D

$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$

Câu 30 :

Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)$. Tính theo $m$ giá trị của $A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|$

A

${m^3} - m$
B

$ - 9m$
C

${m^3} + 9m$
D

$\sqrt {{m^2} - 4} $

Câu 31 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:

A

$\left( {2;4} \right)$.
B

$\left( {5;6} \right)$.
C

$\left( {15;10} \right)$.
D

$\left( {50;6} \right)$.

Câu 32 :

Cho$A\left( {0;3} \right),\,B\left( {4;2} \right)$. Điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 $, tọa độ$D$ là:

A

$\left( { - 3;3} \right)$.
B

$\left( {8; - 2} \right)$.
C

$\left( { - 8;2} \right)$.
D

$\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)$.

Câu 33 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,AC = 18cm$ và có diện tích bằng $64c{m^2}$. Giá trị $\sin \widehat A$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$\dfrac{3}{8}$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$\dfrac{8}{9}$

Câu 34 :

Cho elip (E) có hai tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ và có độ dài trục lớn là $2a$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

$2a = {F_1}{F_2}$.
B

$2a > {F_1}{F_2}$.
C

$2a < {F_1}{F_2}$.
D

$4a = {F_1}{F_2}$.

Câu 35 :

Giá trị của $C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} $ bằng:

A

$ + \infty $
B

$\dfrac{1}{2}$
C

$0$
D

$1$

Câu 36 :

Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi $\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\,\,$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai.

Câu 37 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;3} \right)$
B

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
D

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( {0;4} \right)$

Câu 38 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\\a\cos x - 5\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\end{array} \right.$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục trên R.

A

$a=5$
B

$a=7$
C

$a = \dfrac{{11}}{2}$
D

Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Câu 39 :

Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$.

A

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
B

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
C

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$
D

$\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.$

Câu 40 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 41 :

Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A

$ - 1 \le m \le 0$.
B

$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
C

$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
D

$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$

Câu 42 :

Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách được đánh số từ 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A

10!
B

725760
C

9!
D

9! - 2!

Câu 43 :

Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

A

$1695.$
B

$1485.$
C

$405.$
D

$360.$

Câu 44 :

Một lô hàng gồm $1000$ sản phẩm, trong đó có $50$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó $1$ sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:

A

$0,94.$
B

$0,96.$
C

$0,95.$
D

$0,97.$

Câu 45 :

Cho hai số $ - 3$ và $23.$ Xen kẽ giữa hai số đã cho $n$ số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai $d = 2.$ Tìm $n.$

A

$n = 12.$
B

$n = 13.$
C

$n = 14.$
D

$n = 15.$

Câu 46 :

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $1;{\rm{ }}\,4;{\rm{ }}\,16;{\rm{ }}\,64;{\rm{ }} \cdots $ Gọi ${S_n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

${S_n} = {4^{n - 1}}.$
B

${S_n} = \dfrac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}.$
C

${S_n} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}.$
D

${S_n} = \dfrac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}.$

Câu 47 :

Cho $k,\,\,n$$\,(k < n)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A

$C_n^k = C_n^{n - k}$.
B

$C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}$.
C

$A_n^k = k!.C_n^k$.
D

$A_n^k = n!.C_n^k$.

Câu 48 :

Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A

$y = x + 1.$
B

$y = - x + 2.$
C

$y = 2x + 1.$
D

$y = - x + 1.$

Câu 49 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực $m$ thì phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ có đúng $4$ nghiệm phân biệt.

A

$0 < m < 1$.
B

$m > 3.$
C

$m = - 1,{\rm{ }}m = 3.$
D

$ - 1 < m < 0.$

Câu 50 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = AC = a$. Tính độ dài đường trung tuyến $BM$ của tam giác đã cho

A

$BM = 1,5a.$
B

$BM = a\sqrt 2 .$
C

$BM = a\sqrt 3 .$
D

$BM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.$.

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng phương pháp thế để rút $x$ từ phương trình trên thay vào phương trình dưới.

Bước 2: Giải phương trình dưới bằng cách sử dụng công thức $\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}$

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản

$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{\pi }{3}\\\cos \left( {y + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos y = - 1\left( * \right)\end{array} \right.$

Bước 2:

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\sin \dfrac{\pi }{6} = - 1\\ \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\dfrac{1}{2} = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\end{array}$

Bước 3:

$\Leftrightarrow y + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$$\Rightarrow x = y + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Chú ý

Một số em có thể sẽ nghĩ rằng các giá trị $y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $ và $y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi $ là như nhau nên cả hai đáp án B và C đều đúng là sai vì đây là hệ phương trình nên bộ số $\left( {x;y} \right)$ có chung giá trị của $k$ nên chỉ có đáp án C mới thỏa mãn $x - y = \dfrac{\pi }{3}$.

Câu 2 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Hàm số $y = \sin x$ có chu kỳ $T = \pi $
B

Hàm số $y = \cos x$ và hàm số $y = \tan x$ có cùng chu kỳ.
C

Hàm số $y = \cot x$ và hàm số $y = \tan x$ có cùng chu kỳ.
D

Hàm số $y = \cot x$ có chu kỳ $T = 2\pi $

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ có chu kì $T = 2\pi $.

Hàm số $y = \cot x$ và hàm số $y = \tan x$ có chu kì $T = \pi $.

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án B vì nhìn nhầm hàm số $y = \cos x$ và $y = \cot x$.

Câu 3 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{4}.$
B

$\dfrac{1}{3}.$
C

$ - \dfrac{1}{4}.$
D

$ - \dfrac{1}{3}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho $x-2$ khử dạng vô định và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x + 2)}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 3)}}{{x + 2}} $ $= \dfrac{{(2 - 1)(2 - 3)}}{{2 + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}$

Câu 4 :

Cho biểu thức $S = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$S = {2^n} - 2n + 2$
B

$S = {2^n} - 2$
C

$S = {2^n} - 2n - 2$
D

$S = {2^n} + n - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

+) Thay $a,b,n$ bằng các giá trị thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Thay $a = 1,b = 1$ ta có:

$\begin{array}{l}{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\\ \Leftrightarrow {2^n} = 1 + n + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2} + n + 1\\ \Leftrightarrow {2^n} - 2n - 2 = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\end{array}$

Câu 5 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}$ ($a \ne 1$ là số cho trước)

A

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Nhân của hai vế của tổng với $a$.

- Trừ vế với vế tương ứng và áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Nếu $a = 0$ thì $S = 1$.

Nếu $a \ne 1$ thì ta có:

$\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{ }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}$

Câu 6 :

Cho hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $0.$
B

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to -\infty $ là $2.$
C

Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $-2.$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $

- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.

- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải chi tiết :

$f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{4}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{4x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}{x}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{4}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) =- \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$.

Câu 7 :

A

$ - \dfrac{{343}}{8}$
B

$\dfrac{{721}}{8}$
C

$ - \dfrac{{721}}{8}$
D

$\dfrac{{343}}{8}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Sử dụng tính chất của cấp số cộng ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$ để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$

Sử dụng định lý Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình trở thành ${t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0$ (*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25$

Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là ${t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)$. Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau $ - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} $.

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì $ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}$

Mà theo định lí Vi-et ta có ${t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9$

Lại có ${t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$

Do đó ${1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}$

Chú ý

Công thức giải nhanh cho bài toán trắc nghiệm:

Phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC thì điều kiện cần là $9{b^2} = 100ac$.

Câu 8 :

Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.

A

$\dfrac{1}{{125}}$.
B

$\dfrac{1}{{126}}$.
C

$\dfrac{1}{{36}}$.
D

$\dfrac{{13}}{{36}}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đếm số cách xếp $10$ người vào một hàng.

- Đếm số cách xếp để nam và nữ xen kẽ.

- Tính xác suất.

Lời giải chi tiết :

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“

-Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 10!$.

-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$

-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$

=>$n\left( A \right) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.$

=>$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{28800}}{{10!}} = \dfrac{1}{{126}}.$

Câu 9 :

Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

Vô số

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể cắt mặt phẳng, song song hoặc nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Chỉ có $3$ vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì số điểm chung là giữa chúng là $0$

Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng tại $1$ điểm duy nhất thì số điểm chúng là $1$

Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì giữa chúng có vô số điểm chung.

Câu 10 :

A

$CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.$
B

$CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.$
C

$AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$.
D

$AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để chứng minh ba đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$; đồng thời ${d_3}$ là giao tuyến $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = HF \cap IG$. Ta có

$O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.

$O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.

Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$. $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.

Vậy ba đường thẳng $CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF$ đồng quy.

Câu 11 :

Cho các mệnh đề sau:

a) Nếu a // (P) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).

b) Nếu a // (P) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P).

c) Nếu a // (P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a

d) Nếu a // (P) thì tồn tại đường thẳng d nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng.

Số mệnh đề đúng là:

A

1.
B

2.
C

3.
D

4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vận dụng các kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Các mệnh đề b, c, d đúng nên có 3 mệnh đề đúng.

Câu 12 :

Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:

A

Chéo nhau
B

có hai điểm chung
C

song song
D

có một điểm chung

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ $ \Rightarrow E \in BM,F \in AM.$

Trong $(AMB):$ $G = AE \cap BF \Rightarrow $ $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$

Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.

$A, D, M$$ \in \left( {ACD} \right)$ $ \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) $ $\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right)$ $ \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)$(Vô lí)

Do đó $A, D, M, G $ không đồng phẳng.

Vậy $AD $ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 13 :

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?

A

AD // (BEF)
B

(AFD) // (BEC)
C

(ABD) // (EFC)
D

EC // (ABF)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vẽ hình, chứng minh các mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Ta có $AD \cap \left( {BEF} \right) = A \Rightarrow A$ sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AF//BE\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AFD} \right)//\left( {BEC} \right) \Rightarrow $ B đúng.

$\left( {ABD} \right) \cap \left( {EFC} \right) = CD \Rightarrow C$ sai.

$EC \cap \left( {ABF} \right) = E \Rightarrow D$sai.

Câu 14 :

A

$\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)$
B

$\left( \alpha \right)$ và $(ABCD)$ cắt nhau
C

$\left( \alpha \right)$ và $(ABCD)$ trùng nhau
D

$\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do $A',B',C',D'$ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.

Gọi $a$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, b$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD.$

$A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}A'B'//C'D'\\A'B' = C'D'\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\A'B'//C'D'\\A'B' \subset \left( {SAB} \right),\,\,C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'B'//a$

Suy ra $A’B’ // AB$ $(1)$

Tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}b = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A'D'//B'C'\\A'D' \subset \left( {SAD} \right),\,\,C'B' \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'D'//b$

Suy ra $A’D’ // AD$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)$ hay $\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)$

Câu 15 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$AB \bot \left( {ABC} \right)$.
B

$AC \bot BD$.
C

$CD \bot \left( {ABD} \right)$.
D

$BC \bot AD$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các tính chất tam giác cân, điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD$.

Câu 16 :

A

$CH \bot HK$
B

$AB \bot \left( {CHK} \right)$
C

$CH \bot AK$
D

$BC \bot \left( {SAC} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $CH \bot AB$.

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH$.

Do đó $CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK,CH \bot AK$ hay A, C đúng.

Ngoài ra $HK//SA,SA \bot AB \Rightarrow HK \bot AB$, mà $AB \bot CH$ $ \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)$ hay B đúng.

D sai vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nên không có $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 17 :

A

${60^0}$
B

${75^0}$
C

${45^0}$
D

${30^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABC} \right)$.

- Tính góc tìm được bởi tính chất các tam giác đã học.

Lời giải chi tiết :

Do H là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Vậy $AH$ là hình chiếu của $SA$ lên mp $\left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;HA} \right) = \widehat {SAH}$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH$ hay $\widehat {SAH} <90^0$)

Mà: $\Delta ABC = \Delta SBC \Rightarrow SH = AH$

Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại $H$ $ \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^0}$

Câu 18 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Độ dài $SG$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
B

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
C

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
D

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất hình chóp đều: Hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác đáy.

- Từ đó tính được độ dài $SG$ dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Theo bài ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $SG \bot (ABC),G \in AH$.

Mà $AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác $SAG$ vuông tại $G$ nên theo định lý Pi-ta-go ta có :

$SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$

Câu 19 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 20 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

Ba mặt phẳng $\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)$ đôi một vuông góc.
B

Hình chiếu của A lên mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là trực tâm của tam giác BCD.
C

Tam giác BCD vuông.
D

Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết của hai mặt phẳng vuông góc: Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đều vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AD\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABD} \right)\end{array}$

$\Rightarrow $ A đúng.

$AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AD\bot BC$. Tương tự ta chứng minh được

$AB\bot CD;\,\,AC\bot BD\Rightarrow D$ đúng.

Gọi H là trực tâm của tam giác BCD ta có $\left\{ \begin{align} DH\bot BC \\ AD\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow AH\bot BC$

Tương tự ta chứng minh được $AH\bot BD;\,\,AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)$ $\Rightarrow $ B đúng.

Chưa đủ điều kiện để kết luận tam giác $BCD$ vuông.

Câu 21 :

A

$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.$
B

$d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
C

$d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$
D

$d = a$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ nên suy ra $SI \bot AD \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Kẻ $Ax\parallel BD$. Do đó $d\left( {BD;SA} \right) = d\left( {BD;\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right)$

(vì $DI \cap \left( {SAx} \right) = A$ và $IA = \dfrac{1}{2}DA$)

Kẻ $IE \bot Ax$, kẻ $IK \bot SE\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow IK \bot \left( {SAx} \right)$. Khi đó $d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right) = IK$

Gọi $F$ là hình chiếu của $I$ trên $BD$, ta dễ dàng chứng minh được $\Delta IAE = \Delta IDF\left( {ch - gn} \right) $ $\Rightarrow IE = IF = \dfrac{{AO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$

Tam giác vuông $SIE$, có $IK = \dfrac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$

Vậy $d\left( {BD;SA} \right) = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$

Câu 22 :

A

$d = a\sqrt 3 .$
B

$d = 5a\sqrt 3 .$
C

$d = \dfrac{{5a}}{2}.$
D

$d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a$

Xác định ${60^0} = \widehat {\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}$ và $SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a\sqrt 3 .$

Gọi $N$ là trung điểm $BC$, suy ra $MN\parallel AB$.

Lấy điểm $E$ đối xứng với $N$ qua $M$, suy ra $ABNE$ là hình chữ nhật.

Do đó $d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right).$

Kẻ $AK \bot SE$.

Vì $ME \bot AE,ME \bot SA$ nên $ME \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow ME \bot AK$

Mà $AK \bot SE$ nên $AK \bot \left( {SME} \right)$

Khi đó $d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.$

Câu 23 :

Hàm số $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 3} \right|$ được viết lại là

A

$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
B

$y = \left\{ \begin{array}{l}2x - 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x + 2\,\,\,khi\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
C

$y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x - 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
D

$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phá dấu giá trị tuyệt đối của các biểu thức sử dụng lưu ý: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng:

Từ bảng trên ta có kết luận: $y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$

Câu 24 :

Tìm điểm $A$ cố định mà họ đồ thị hàm số $y = {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 3m\,\,\left( {{P_m}} \right)$ luôn đi qua.

A

$A\left( {3;\,\,15} \right)$
B

$A\left( {0;\,\, - 2} \right)$
C

$A\left( {3;\,\, - 15} \right)$
D

$A\left( { - 3;\,\, - 15} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ điểm cố định $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

- Biến đổi phương trình $\left( {{P_m}} \right)$ về dạng $Am + B = 0$.

- Điểm cố định $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Điểm $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm cố định của họ $\left( {{P_m}} \right)$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{y_0} = x_0^2 + \left( {2 - m} \right){x_0} + 3m \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} - m\left( {{x_0} - 3} \right) = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} = 0\\{x_0} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 15\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $A\left( {3;\,\,15} \right)$.

Câu 25 :

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm $\left( {x;y} \right)$ ?

A

$1.$
B

$0.$
C

$2.$
D

$3.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Trừ vế với vế rồi nhân với biểu thức liên hợp.

- Rút $y$ theo $x$ rồi thay vào các phương trình ban đầu

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x,y \ge 1$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0$$ \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = 0}}$

$ \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0$

Khi $x = y$ thì $2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x$ (vô nghiệm do $x \ge 1$ thì $VT \ge 0,VP < 0$ )

Khi $\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \dfrac{1}{2}$ thì $2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}$ (vô nghiệm vì $x,y \ge 1$)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Chú ý

Các em có thể đánh giá từ bước đầu tiên như sau:

Vì $x,y\ge 1$ nên VT của các phương trình trong hệ đều $\ge 2$, do đó hệ vô nghiệm.

Câu 26 :

Cho bất phương trình$ - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

$\left( {1;1} \right) \in S$.
B

$\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S$.
C

$\left( {1; - 2} \right) \notin S$.
D

$\left( {1;0} \right) \notin S$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Thay lần lượt các tọa độ của mỗi điểm vào bất phương trình và kiểm ta tính đúng sai của các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S$ vì $ - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2 = 0$ nên B đúng.

Ngoài ra khi ta thay tọa độ các điểm ở đáp án A, C, D ta thấy $\left( {1;1} \right) \notin S$, $\left( {1; - 2} \right) \in S$ và $\left( {1;0} \right) \in S$ nên A, C, D đều sai

Câu 27 :

Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.$?

A

$\left( { - 1;4} \right)$.
B

$\left( { - 2;4} \right)$.
C

$\left( {0;0} \right)$.
D

$\left( { - 3;4} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra tính đúng, sai của mỗi đáp án

Lời giải chi tiết :

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy chỉ có điểm $\left( {0;0} \right)$ không thỏa mãn hệ.

Câu 28 :

A

${S_1} \subset {S_2}$.
B

${S_2} \subset {S_1}$.
C

${S_2} = S$.
D

${S_1} \ne S$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.

- Xét tính đúng, sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5$

$\left( {{d_2}} \right):x + \dfrac{3}{2}y = 5$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 29 :

Biết $\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.$ Tính $\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$ theo m và n.

A

$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
B

$m - 3n$
C

$m + 3n$
D

$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Lần lượt bình phương các đẳng thức giả thiết cho.

- Sử dụng công thức cộng để tính giá trị $\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n$

$ \Rightarrow {m^2} + {n^2}$ $ = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}$

$ = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta $ $ + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta $

$ = \left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) + \left( {{{\cos }^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right)$ $ + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)$

$ = 1 + 1 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$ $ = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$

Do đó $\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$

Câu 30 :

Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)$. Tính theo $m$ giá trị của $A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|$

A

${m^3} - m$
B

$ - 9m$
C

${m^3} + 9m$
D

$\sqrt {{m^2} - 4} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bình phương biểu thức $A$ và sử dụng hệ thức $\tan \alpha \cot \alpha = 1$ để tính ${A^2}$.

- Khai căn hai vế ta được kết quả cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2}$ $ = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2\tan \alpha .\cot \alpha $ $ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $ $= {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha $ $ = {m^2} - 2$ (do $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$)

Do đó:

${\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2}$$ = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha $$ = {m^2} - 2 - 2 = {m^2} - 4$

Vậy $\left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right| = \sqrt {{m^2} - 4} $

Chú ý

Trong trường hợp câu không cho điều kiện của $m$ thì các em cần biện luận giá trị của $\left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|$ theo $m$.

Câu 31 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:

A

$\left( {2;4} \right)$.
B

$\left( {5;6} \right)$.
C

$\left( {15;10} \right)$.
D

$\left( {50;6} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử công thức $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.

Câu 32 :

Cho$A\left( {0;3} \right),\,B\left( {4;2} \right)$. Điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 $, tọa độ$D$ là:

A

$\left( { - 3;3} \right)$.
B

$\left( {8; - 2} \right)$.
C

$\left( { - 8;2} \right)$.
D

$\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ $D\left( {{x_D};{y_D}} \right)$.

- Lập hệ phương trình ẩn ${x_D},{y_D}$ và giải hệ suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 0 + 2\left( {0 - {x_D}} \right) - 2\left( {4 - {x_D}} \right) = 0\\{y_D} - 0 + 2\left( {3 - {y_D}} \right) - 2\left( {2 - {y_D}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 2\end{array} \right.$.

Câu 33 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,AC = 18cm$ và có diện tích bằng $64c{m^2}$. Giá trị $\sin \widehat A$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$\dfrac{3}{8}$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$\dfrac{8}{9}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: $S = \dfrac{1}{2}AB.CA.\sin \widehat A$

Lời giải chi tiết :

Ta có $S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.18}} = $$\dfrac{8}{9}$

Câu 34 :

Cho elip (E) có hai tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ và có độ dài trục lớn là $2a$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

$2a = {F_1}{F_2}$.
B

$2a > {F_1}{F_2}$.
C

$2a < {F_1}{F_2}$.
D

$4a = {F_1}{F_2}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$ và ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ với $2c$ là tiêu cự của (E).

Lời giải chi tiết :

Elip (E) có hai tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ ta có $2c = {F_1}{F_2}$ .

Vì ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ và $a,b,c > 0$ nên ta có ${a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c$. Do đó $2a > {F_1}{F_2}$

Câu 35 :

Giá trị của $C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} $ bằng:

A

$ + \infty $
B

$\dfrac{1}{2}$
C

$0$
D

$1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đưa các lũy thừa về cùng số mũ.

- Chia cả tử và mẫu cho ${a^n}$ với $a$ là cơ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

- Sử dụng lý thuyết: Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0$

Lời giải chi tiết :

$C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{{3.3}^n} + {{4.4}^n}}}} $ $ = \lim \sqrt {\dfrac{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$

Câu 36 :

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.

- Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$({u_n}):\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,(n \ge 1)\end{array} \right.\,\,$

$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{{2 + 1}}\\{u_3} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{{3 + 1}}\end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

* Với $n = 1,\,n = 2$: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k$, tức là ${u_k} = \dfrac{k}{{k + 1}}$ , ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$

Ta có: ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_k}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{k}{{k + 1}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{2k + 2 - k}}{{k + 1}}}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

Từ (*) ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}} - \dfrac{n}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2} - 2n}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ $ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng và $\lim {u_n} = \lim \dfrac{n}{{n + 1}} = \lim \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = 1 \Rightarrow $ $({u_n})$ là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $

Câu 37 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;3} \right)$
B

Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
D

Hàm số không liên tục trên khoảng $\left( {0;4} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Lời giải chi tiết :

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Do đó hàm số không liên tục trên mọi khoảng có chứa điểm $x = 1$ hay A, B sai, D đúng.

Đáp án C sai do hàm số liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Câu 38 :

A

$a=5$
B

$a=7$
C

$a = \dfrac{{11}}{2}$
D

Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$. Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5 = f\left( 0 \right)$

Ta có $0 \le \left| {x\sin \dfrac{2}{x}} \right| \le \left| x \right|,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| x \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin \dfrac{2}{x}} \right) = 0$

Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5$

Câu 39 :

Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$.

A

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
B

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
C

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$
D

$\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định $a,b$ từ giả thiết đỉnh của hình chữ nhật cơ sở.

- Viết phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$, suy ra $a = 4,{\rm{ }}b = 3$.

Phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Câu 40 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Hàm số $y = \tan x$ xác định nếu $\cos x \ne 0$.

- Hàm số $y = \cot x$ xác định nếu $\sin x \ne 0$.

- Sử dụng các công thức

$\cos a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$\sin a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne k\pi$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$

=> Điều kiện của hàm số là:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.$

Chú ý

Tập xác định của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$

Câu 41 :

A

$ - 1 \le m \le 0$.
B

$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
C

$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
D

$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về phương trình trùng phương ẩn $\sin 2x$.

- Đặt $t = {\sin ^2}2x$, tìm điều kiện của $t$.

- Tìm điều kiện của $m$ để phương trình ẩn $t$ không có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$$ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$$ = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x$

${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$$ - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$$ = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x$

Phương trình đã cho trở thành

$4\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x} \right) - 8\left( {\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$

$ \Leftrightarrow 3 + \cos 4x - 5 - 3\cos 4x - 4\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right) = m$

$ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}4x - 2\cos 4x = m + 6$

Đặt $t = \cos 4x,t \in \left[ { - 1;1} \right]$, phương trình trở thành $4{t^2} - 2t = m + 6\,\,\left( * \right)$

Phương trình đã cho vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ không có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.

Xét hàm $f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t$ trong đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ có:

Đồ thị của $f\left( t \right)$ là parabol có hoành độ đỉnh $t = \dfrac{1}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Bảng biến thiên:

Phương trình $\left( * \right)$ không có nghiệm thuộc $\left[ { - 1;1} \right]$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}m + 6 < - \dfrac{1}{4}\\m + 6 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{{25}}{4}\\m > 0\end{array} \right.$.

Vậy $m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$.

Câu 42 :

Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách được đánh số từ 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A

10!
B

725760
C

9!
D

9! - 2!

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gom hai quyển sách thành một quyển và đếm số cách xếp sách cho 9 quyển sách.

Lời giải chi tiết :

Gom 2 quyển sách thứ nhất và thứ hai thành 1 quyển nên coi như lúc này chỉ có 9 quyển sách.

Hoán vị hai quyển sách có 2! = 2 cách.

Sắp 9 quyển sách (trong đó có bộ 2 quyển sách vừa gom) vào 9 vị trí, có 9! cách.

Vậy có 2.9! = 725760 cách.

Câu 43 :

Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

A

$1695.$
B

$1485.$
C

$405.$
D

$360.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm số hạng tổng quát của tổng, từ đó suy ra hệ số.

Lời giải chi tiết :

Với $0 \le q \le p \le 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

${T_p} = C_{10}^p.C_p^q.{(3{x^2})^{10 - p}}.{(x)^{p - q}}{.1^q} = C_{10}^p.C_p^q{.3^{10 - p}}.{(x)^{p - q + 20 - 2p}}$

Theo đề bài thì $p - q + 20 - 2p = 4 \Leftrightarrow p + q = 16$

Do $0 \le q \le p \le 10$ nên $(p;q) \in \left\{ {(8;8);(9;7);(10;6)} \right\}$.

Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:

$C_{10}^8.C_8^8{.3^{10 - 8}} + C_{10}^9.C_9^7{.3^{10 - 9}} + C_{10}^{10}.C_{10}^6{.3^{10 - 10}} = 1695$.

Câu 44 :

Một lô hàng gồm $1000$ sản phẩm, trong đó có $50$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó $1$ sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:

A

$0,94.$
B

$0,96.$
C

$0,95.$
D

$0,97.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.

- Tính xác suất theo công thức $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$.

Lời giải chi tiết :

Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.“

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{1000}^1 = 1000.$

Số cách lấy được sản phẩm tốt là $n\left( A \right) = C_{950}^1 = 950.$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{950}}{{1000}} = 0,95.$

Câu 45 :

Cho hai số $ - 3$ và $23.$ Xen kẽ giữa hai số đã cho $n$ số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai $d = 2.$ Tìm $n.$

A

$n = 12.$
B

$n = 13.$
C

$n = 14.$
D

$n = 15.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Coi ${u_1} = - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23$, tìm $d$ và các số hạng cần tìm, sử dụng công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có $n + 2$ số hạng với ${u_1} = - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.$

Khi đó ${u_{n + 2}} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d$ $ \Leftrightarrow n + 1 = \dfrac{{{u_{n + 2}} - {u_1}}}{d} = \dfrac{{23 - \left( { - 3} \right)}}{2} = 13$ $ \Leftrightarrow n = 12$

Câu 46 :

A

${S_n} = {4^{n - 1}}.$
B

${S_n} = \dfrac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}.$
C

${S_n} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}.$
D

${S_n} = \dfrac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tổng ${S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Lời giải chi tiết :

Cấp số nhân đã cho có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}$

Câu 47 :

Cho $k,\,\,n$$\,(k < n)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A

$C_n^k = C_n^{n - k}$.
B

$C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}$.
C

$A_n^k = k!.C_n^k$.
D

$A_n^k = n!.C_n^k$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k$ là các công thức đúng.

Câu 48 :

Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A

$y = x + 1.$
B

$y = - x + 2.$
C

$y = 2x + 1.$
D

$y = - x + 1.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nhận xét dáng đồ thị suy ra hệ số góc đường thẳng, các điểm đi qua và đối chiếu đáp án.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải $ \Rightarrow $ hệ số góc $a < 0.$ Loại A, C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;1} \right).$

Câu 49 :

A

$0 < m < 1$.
B

$m > 3.$
C

$m = - 1,{\rm{ }}m = 3.$
D

$ - 1 < m < 0.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Dựng đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau :

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành, bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành đi ta sẽ được đồ thị hàm số cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) \ge 0}\\{ - f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) < 0}\end{array}} \right.$.

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right)$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị $y = f\left( x \right)$ phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như hình vẽ.

Phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ và đường thẳng $y = m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 0 < m < 1.$

Câu 50 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = AC = a$. Tính độ dài đường trung tuyến $BM$ của tam giác đã cho