Phương pháp giải:

Nhận xét rằng : Hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3m\left| x \right| - 5\) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3mx - 5\) có hai điểm cực trị trong đó chỉ có duy nhất một cực trị dương.

Từ đó xét trường  hợp có hai cực trị trong đó  có 1 cực trị bằng 0, 1 cực trị dương và trường hợp có hai cực trị trái dấu.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3m\left| x \right| - 5\) nhận trục tung làm trục đối xứng nên hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3mx - 5\) có hai điểm cực trị trong đó chỉ có duy nhất một cực trị dương.

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + 3m\)

TH1: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 cực trị \(x = 0\) và 1 cực trị \(x > 0.\) Khi đó

\(f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 3m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) . Vậy nhận giá trị \(m = 0.\)

TH2: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai cực trị trái dấu \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 3m.3 < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Vậy với \(m \le 0\) thì thỏa mãn yêu cầu nên có vô số giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Chọn A.