Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)$:

- Tìm giao tuyến $\Delta$ của $\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)$.

- Xác định 1 mặt phẳng $\left( \gamma  \right) \bot \Delta$.

- Tìm các giao tuyến $a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)$

- Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)$: $\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Kẻ $BH \bot SC,BK \bot AC$.

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC$

Mà $BH \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow HK \bot SC$

$SC = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HK} \right) = \angle BHK = {60^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Mà $\widehat {BSC} = {45^0} \Rightarrow \Delta SBC$ vuông cân tại B $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SB = BC = a\\BH = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.$

Đặt $SA = x \Rightarrow A{B^2} = S{B^2} - S{A^2} = {a^2} - {x^2};\,\,A{C^2} = 2{a^2} - {x^2}$

$\Delta BHK$ vuông tại K, $\widehat {BHK} = {60^0}$

$\Rightarrow HK = BH.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}BH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4},\,\,BK = BH.\sin {60^0} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$

$\Delta ABC$ vuông tại B, $BK \bot AC \Rightarrow BK.AC = BC.AB$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\sqrt {2{a^2} - {x^2}}  = a.\sqrt {{a^2} - {x^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{8}\left( {2{a^2} - {x^2}} \right) = {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow \dfrac{5}{8}{x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow x = a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \end{array}$

$\Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt {\dfrac{2}{5}} }}{a} = \sqrt {\dfrac{2}{5}}$.

Chọn: D