Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 1$ .

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Do đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại $x = 1$

Ta có: $f(1) = 3m - 2$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1 + x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \frac{{x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{(x - 1)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}}}} \right] = \frac{7}{3}.\end{array}$       

Nên hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = \frac{7}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{9}.$

Vậy $m = \frac{{13}}{9}$ là những giá trị cần tìm.

Chọn B.