Phương pháp giải:

Xác định công thức tổng quát cho \({u_n}\) sau đó tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1;\,\,{u_3} = 3 = 1 + 2\\{u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 6 = {u_2} + 3 = 1 + 2 + 3\\{u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 10 = {u_3} + 4 = 1 + 2 + 3 + 4\\{u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 15 = {u_4} + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5\\....\end{array}\)

Dự đoán: \({u_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\,\,\left( * \right)\).

Dễ dàng chứng minh được \(\left( * \right)\)  bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 1\) đúng.

Giả sử \(\left( * \right)\) đúng đến \(n = k\), tức là \({u_{k - 1}} = \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2};\,\,{u_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}\).

Ta cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = 2{u_k} - {u_{k - 1}} + 1 = 2\dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} - \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{k^2} + 2k - {k^2} + k + 2}}{2} = \dfrac{{{k^2} + 3k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(n \ge 1\).

Khi đó ta có: \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{{n^2} + n}}{{2{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.