Phương pháp giải:

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) \,;\,\,f\left( 3 \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f\left( 3 \right) = {3^3} - 3\left( {2b + 1} \right) = 24 - 6b$.

Đặt $g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a.$ Ta có: $g\left( 3 \right) = 3 - a$.

Ta thấy nếu $g\left( 3 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3$ thì  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty$ nên hàm số không thể liên tục tai $x = 3.$

Nếu $g\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3$ thì

 $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 6}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  + 2}}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} = \frac{2}{3}.\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 3$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 24 - 6b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{35}}{9}$ .

Số nhỏ hơn  là $a = 3$ .

Chọn B.