Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho ${9^n}$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {{3.3}^n}}}{{{5^n} + {9^n}{{.9}^a}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{1 + 3.{{\left( {\frac{3}{9}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^n} + {9^a}}}}  = \frac{1}{{{3^a}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{3^a}}} \le \frac{1}{{2187}} = \frac{1}{{{3^7}}} \Leftrightarrow {3^a} \ge {3^7} \Leftrightarrow a \ge 7.\end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {7;2019} \right)\\a \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow a \in \left\{ {7;\;8;\;9;...;\;2018} \right\}$.

Vậy có $2018 - 7 + 1 = 2012$ giá trị của $a$ thỏa mãn.

Chọn C.