Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+) Giải phương trình \(f'\left( x \right)=0\Rightarrow \) Các nghiệm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\).

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x}_{i}} \right)\).

+) Kết luận: \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\). Ta có \(y'=1-2{{e}^{2x}}=0\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\ln \dfrac{1}{2}=-\ln 2\Leftrightarrow x=\dfrac{-\ln 2}{2}\in \left[ -1;1 \right]\).

Ta có \(f\left( 1 \right)=1-{{e}^{2}};\,\,f\left( -1 \right)=-1-{{e}^{-2}};\,\,f\left( \dfrac{-\ln 2}{2} \right)=\dfrac{-\ln 2}{2}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{\ln 2+1}{2}\).

Chọn A.