Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Do hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = f\left( 1 \right) = {1^2} + 1 + 1 = 3\).

Chọn A.