Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm, \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Ta có: \(y =  - {x^3} + 2{x^2} \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 4x\)

Do d song song với đường thẳng \(y = x\)\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 1 \Leftrightarrow  - 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 4{x_0} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng d  là:  \(y = 1.\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = x\): Loại

+) \({x_0} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{5}{{27}} \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng d  là:  \(y = 1.\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{5}{{27}} \Leftrightarrow y = x - \dfrac{4}{{27}}\): Thỏa mãn

Vậy, có 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 2{x^2}\) song song với đường thẳng \(y = x\).

Chọn: D