Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

+) Tính tan của góc xác định được.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$. Do $S.ABCD$ là chóp đều $\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ ta có: $OM$ là đường trung bình của tam giác $BCD \Rightarrow OM//BC$.

$\Rightarrow OM \bot CD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM$.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO$.

Ta có $OM = \dfrac{a}{2}$. $\Delta SCD$ đều cạnh $a \Rightarrow SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOM$ ta có: $SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow \tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \sqrt 2$.

Chọn A.