Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ : \(V = Sh\).

Diện tích tam giác đều có các cạnh bằng a là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại A. Mà \(\widehat {ABD} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABD\) đều

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = {S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{AB.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

Tam giac A’AG vuông tại G \( \Rightarrow A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABCD}}.A'G = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn: A