Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

\( \Rightarrow \) đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\;2} \right) \Rightarrow c = 2.\)

Lại có đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {\frac{1}{4};\;\frac{5}{4}} \right)\)  nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{4}\\\frac{1}{{16}}a + \frac{1}{4}b + c = \frac{5}{4}\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a =  - 4b\\a + 4b + 16c = 20\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b =  - 6\\c = 2\end{array} \right.\)

Chọn C.