Phương pháp giải:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$của một cạnh bên nào đó

- Xác định $I = \left( \alpha  \right) \cap d$, I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của CD, AC, AD.

$\Delta BCD$ vuông tại B, M là trung điểm của CD $\Rightarrow$ M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$

$IM$ là đường trung bình của $\Delta ACD\, \Rightarrow IM//AC$

Lại có, $AC \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow IM \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow IC = IB = ID$(1)

Mặt khác, $\Delta ACD$ vuông tại C, I là trung điểm của AD $\Rightarrow IA = IC = ID$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $IA = IC = IB = ID \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD, bán kính

$R = \frac{{AD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + C{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + C{B^2} + B{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 a}}{2}$.

Chọn: D