Phương pháp giải:

+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là điểm cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện.

+) Áp dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại B, M là trung điểm của AC $\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là trung điểm của CD $\Rightarrow IC = ID$ (1)

Ta có: IM là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow IM//AD$

Mà $AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow IA = IB = IC = ID \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện$ABCD$, bán kính mặt cầu: $r = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {A{D^2} + A{C^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Chọn: D