Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:\({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}{\left( {3\sin x + a\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {a^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = {a^2} + 9\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {{a^2} + 9}  \le 3\sin x + a\cos x \le \sqrt {{a^2} + 9} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \sqrt {{a^2} + 9}  - 2;\,\,m =  - \sqrt {{a^2} + 9}  - 2\\ \Rightarrow {M^2} + {m^2} = {\left( {\sqrt {{a^2} + 9}  - 2} \right)^2} + {\left( { - \sqrt {{a^2} + 9}  - 2} \right)^2}\\ = {a^2} + 9 - 4\sqrt {{a^2} + 9}  + 4 + {a^2} + 9 + 4\sqrt {{a^2} + 9}  + 4 = 2{a^2} + 26.\end{array}\)

Theo đề bài: \(2{a^2} + 26 = 58 \Leftrightarrow a = 4\) (vì a dương)

Chọn B.