Phương pháp giải:

Khi ta cho một giá trị của x thì sẽ có một giá trị của y tương ứng, vậy nếu coi y là tham số, x là ẩn. Ta sẽ xác định điều kiện của tham số y để phương trình  \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) có nghiệm x. Điều kiện của y này chính là miền giá trị của hàm số.

- Xác định tập xác định của hàm số

- Quy đồng , chuyển hàm số về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\); với a , b, c là hệ số (có thể chứa y)

- Dựa vào điều kiện: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)xác định điều kiện của y.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2\sin x - \cos x + 3 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\sin x.\frac{2}{{\sqrt 5 }} - \cos x.\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + 3 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\sin \left( {x + \alpha } \right) + 3 > 0\;\;\forall x \Rightarrow \) hàm số xác định trên R.

Với \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\;\;\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x = y\left( {2\sin x - \cos x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 2} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {2y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 8y + 4 + {y^2} + 2y + 1 \ge 9{y^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} + 6y - 5 \le 0\end{array}\)

Khi đó : \(M + m =  - \frac{3}{2};Mm =  - \frac{5}{4}\)(áp dụng định lý Vi-et đảo)

Vậy: \({M^2} + Mm + {m^2} = {\left( {M + m} \right)^2} - Mm = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - \left( { - \frac{5}{4}} \right) = \frac{7}{2}\)

Chọn D.