Phương pháp giải:

+) Xác định trục d của mặt phẳng (ABCD).

+) Xác định đường trung trực d’ của SA sao cho d và d’ đồng phẳng.

+) Gọi $I = d \cap d' \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, từ $O$ dựng đường thẳng song song với $SA$ và cắt $SC$ tại trung điểm $I$ của $SC$, suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCD$.

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\\OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\end{array} \right.$

Theo bài ra ta có: $R = IC = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$

Vậy thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}.$

Chọn A.