Phương pháp giải:

- Xác định tâm mặt cầu.

- Tính diện tích mặt cầu: $S = 4\pi {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Tam giác ABC vuông tại B $\Rightarrow$ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

IO là đường trung bình của tam giác SAC $\Rightarrow IO//SA$

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC$ (1)

Tam giác SAC vuông tại A $\Rightarrow IA = IS = IC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và  bán kính mặt cầu $R = \dfrac{{SC}}{2}$

$\Delta ABC$ vuông tại B $\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {10}$

$\Delta SAC$ vuông tại A $\Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} a} \right)}^2}}  = a\sqrt {26}$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {a \dfrac{\sqrt {26}}{2} } \right)^2} = 26\pi {a^2}$.

Chọn: D