Phương pháp giải:

Xác định chu kì hàm số theo \(m\) rồi xác định \(m\) theo dữ kiện bài toán.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(m \in Z^+ \)

Hàm số  \(y = \sin \frac{x}{{3m + 1}}\)có chu kì \({T_1} = 2\pi (3m + 1)\); hàm số \(y = \cos \frac{x}{{2m + 1}}\) có chu kì \({T_2} = 2\pi (2m + 1)\).

Vì \(UC(3m + 1;\;\;2m + 1) = 1\)  nên chu kì hàm số \(y = \sin \frac{x}{{3m + 1}} + \cos \frac{x}{{2m + 1}}\) là \(T = (2m + 1)(3m + 1)2\pi \).

Ta có: \((2m + 1)(3m + 1)2\pi  < 100 \Leftrightarrow 6{m^2} + 5m + 1 - \frac{{50}}{\pi } < 0 \Leftrightarrow  - 2,05 < m < 1,21\).

Vậy các giá trị \(m\) nguyên dương thõa mãn bài toán là: \(m \in \{ 1{\rm{\} }}\)

Chọn D.