Phương pháp giải:

Tìm miền giá trị của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\)

Từ đó, xác định giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\({x^3} - 3x + 4m - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 1 =  - 4m\) (*)

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Bảng biến thiên:

Để phương trình (*) có nghiệm thì \( - 19 \le  - 4m \le 51 \Leftrightarrow  - \frac{{51}}{4} \le m \le \frac{{19}}{4}\).

Chọn: A