Phương pháp giải:

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và E là trung điểm của BC.

+) Qua I dựng đường thẳng song song với SH, qua E dựng đường thẳng song song với IH, hai đường thẳng này cắt nhau tại O \( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AHC.

+) Tính IH, sử dụng công thức \(R = \frac{{abc}}{{4S}}\) với a, b, c là ba cạnh của tam giác AHC, S là diện tích tam giác AHC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.

+) Tính HE.

+) Sử dụng định lí Pytago tính OH.

Lời giải chi tiết:

Kẻ HK vuông góc AB tại K, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, E là trung điểm của SH.

Ta có: H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\)

Mà SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(\Delta AHK\) đồng dạng \(\Delta ACB\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HK}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} }} = \frac{{HK}}{{\sqrt 2 a}} \Leftrightarrow HK = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)

Ta có:  \(HK \bot AC,\,\,SH \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SKH} = {60^0}\)

\(\Delta SKH\) vuông tại H,  \(\widehat {SKH} = {60^0} \Rightarrow SH = HK.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 3  = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow EH = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\)

Ta có:  \({S_{\Delta AHC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB

\( \Rightarrow IH = R = \frac{{AH.HC.AC}}{{4{S_{\Delta AHC}}}} = \frac{{\frac{a}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{3a}}{2}.\sqrt 3 a}}{{{a^2}\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 3 a}}{{4\sqrt 2 }}\)

Tứ giác OEHI là hình chữ nhật \( \Rightarrow OH = \sqrt {I{H^2} + E{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{3\sqrt 3 a}}{{4\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{27{a^2}}}{{32}} + \frac{{{a^2}}}{8}}  = \frac{{\sqrt {62} a}}{8}\)

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC là \(\frac{{\sqrt {62} a}}{8}\).

Chọn: C