Phương pháp giải:

TH1: \(m = 0\)

TH2: \(m \ne 0\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\\frac{1}{m} \notin \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = \frac{{x - 2}}{{ - 1}} =  - x + 2\) nghịch biến trên R \( \Rightarrow m = 1\,\,ktm\).

TH2: \(m \ne 0\). TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{1}{m}} \right\}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = \frac{{ - 1 + 2m}}{{{{\left( {mx - 1} \right)}^2}}} > 0\\\frac{1}{m} \notin \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + 2m > 0\\\frac{1}{m} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\\frac{1}{m} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\\frac{{1 - m}}{m} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)

Chọn A.