Phương pháp giải:

Xét các trường hợp:

TH1: \(a \vdots 3;\,\,b \vdots 3;\,\,c \vdots 3\).

TH2: \(a \vdots 3\), b chia 3 dư 1, c chia 3 dư 2

TH3: \(a;b;c\) đều chia 3 dư 1.

TH4: \(a;b;c\) đều chia 3 dư 2.

Lời giải chi tiết:

\(n\left( \Omega  \right) = {14^3}\)

Gọi ba chữ số mà ba bạn đó viết lần lượt là \(a;b;c \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots 3\).

Gọi \(A = \left\{ {\left( {a + b + c} \right) \vdots 3;\,\,a;b;c \in \left[ {1;14} \right]} \right\}\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots 3\\b \vdots 3\\c \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow a;b;c \in \left\{ {3;6;9;12} \right\} \Rightarrow \) Có \({4^3}\) số.

TH2: \(a \vdots 3\), b chia 3 dư 1, c chia 3 dư 2

\( \Rightarrow a \in \left\{ {3;6;9;12} \right\} \Rightarrow \) có 4 cách chọn a.

\(b \in \left\{ {1;4;7;10;13} \right\} \Rightarrow \) có 5 cách chọn b.

\(c \in \left\{ {2;5;8;11;14} \right\} \Rightarrow \) có 5 cách chọn c.

\( \Rightarrow \) Trường hợp này có \(4.5.5 = 100\) số chia hết cho 3.

Tương tự 5 trường hợp còn lai (trong 3 chữ số a; b; c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2) đều có 100 số chia hết cho 3.

TH3: \(a;b;c\) đều chia 3 dư 1 \( \Rightarrow a;b;c \in \left\{ {1;4;7;10;13} \right\} \Rightarrow \) có \({5^3}\) số.

TH4: \(a;b;c\) đều chia 3 dư 2 \( \Rightarrow a;b;c \in \left\{ {2;5;8;11;14} \right\} \Rightarrow \) có \({5^3}\) số.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = {4^3} + 100.6 + {2.5^3} = 914\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{914}}{{2744}} = \dfrac{{457}}{{1372}}\).

Chọn A.