Phương pháp giải:

Bán kính ngoại tiếp tứ diện vuông OABC có $OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c$ là $R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}$

Lời giải chi tiết:

Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R = IA = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 3$

Đặt $OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = 4\sqrt 3  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 192$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $192 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \Leftrightarrow abc \le 512$

$\Rightarrow {V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc \le \dfrac{{256}}{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 8$.

Chọn C.