Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức thể tích tứ diện vuông tại $A$ là ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD$

- Công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông tại $A$ là $R = IA = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có : $AI = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2} = 3\sqrt 3$ $\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} = 4.A{I^2} = 4.27 \ge 3\sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}} \Leftrightarrow AB.AC.AD \le 216$

Vậy ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD \le \frac{1}{6}.216 = 36$

Dấu $=$ xảy ra khi $AB = AC = AD = 6$

Chọn D.