Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức thể tích tứ diện vuông tại \(A\) là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\)

- Công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông tại \(A\) là \(R = IA = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(AI = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2} = 3\sqrt 3 \) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} = 4.A{I^2} = 4.27 \ge 3\sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}} \Leftrightarrow AB.AC.AD \le 216\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD \le \frac{1}{6}.216 = 36\)

Dấu \( = \) xảy ra khi \(AB = AC = AD = 6\)

Chọn D.