Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng.

+ \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các giới hạn sau được thỏa mãn

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  - \infty .\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ge  - 9;\,x \ne 0;x \ne  - 1\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 9 - {3^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}} = \frac{1}{6}\)

Nên \(x = 0\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left[ {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}}\frac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{x}} \right] =  + \infty \)  nên \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng.

Chọn D.