Phương pháp giải:

Để hàm số $y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Để hàm số $y = \left| {{x^3} - m{x^2} - \left( {2{m^2} + m - 2} \right)x - {m^2} + 2m} \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = {x^3} - m{x^2} - \left( {2{m^2} + m - 2} \right)x - {m^2} + 2m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

$\Rightarrow$ Phương trình ${x^3} - m{x^2} - \left( {2{m^2} + m - 2} \right)x - {m^2} + 2m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - m{x^2} - \left( {2{m^2} + m - 2} \right)x - {m^2} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {{x^2} - 2mx - m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m\\{x^2} - 2mx - m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}$

có 3 nghiệm phân biệt.

$\Rightarrow$ Phương trình ${x^2} - 2mx - m + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $- m$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + m - 2 > 0\\{m^2} + 2{m^2} - m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 2\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left( {1;7} \right]$. Do đó có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn C.