Phương pháp giải:

Điểm cực tiểu của hàm số $y = g\left( x \right)$ thỏa mãn $g'\left( x \right) = 0$ và qua đó $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương.

Lời giải chi tiết:

Ta có $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}x < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\\1 > x > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Qua điểm $x = 0$ thì $g'\left( x \right)$ không đổi dấu $\Rightarrow x = 0$ không là cực trị của hàm số $y = g\left( x \right)$.

$\begin{array}{l}0 < x < 1 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\\1 < x < 2 \Rightarrow f'\left( x \right) >  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) > 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Qua điểm $x = 1$ thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số $y = g\left( x \right)$.

$\begin{array}{l}1 < x < 2 \Rightarrow f'\left( x \right) >  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) > 0\\2 < x \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Qua điểm $x = 2$ thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow x = 2$ là điểm cực đại của hàm số $y = g\left( x \right)$.

Vậy hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + x$ có 1 điểm cực tiểu.

Chọn D.