Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCA} \right)$ đều tạo với đáy một góc $60^\circ$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nằm bên trong tam giác $ABC$ nên ta có hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$.

Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ thì $p = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9$.

Ta có ${S_{ABC}} = \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)}  = 6\sqrt 6$ và $r = \frac{S}{p} = \frac{{6\sqrt 6 }}{9} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$.

Chiều cao của hình chóp là: $h = r.\tan 60^\circ  = 2\sqrt 2$.

Kí hiệu $BC = a,AC = b,AB = c$. Ta có:

Vì $BE$ là phân giác của góc $B$ nên ta có: $\frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{BA}}{{BC}}$. Tương tự $\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{CB}},\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Khi đó $\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AB + BC}}.\frac{{AC}}{{AC + BC}}$, tương tự: $\frac{{{S_{CED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{CA}}{{CA + AB}}.\frac{{CB}}{{CB + AB}}$,$\frac{{{S_{BFD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{BC}}{{BC + CA}}.\frac{{BA}}{{BA + CA}}$.

Do đó

${S_{DEF}} = {S_{ABC}}.\left( {1 - \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a + b} \right)\left( {c + b} \right)}}} \right) = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}.{S_{ABC}} = \frac{{210\sqrt 6 }}{{143}}$.

Suy ra: ${V_{S.DEF}} = \frac{1}{3}.\frac{{210\sqrt 6 }}{{143}}.2\sqrt 2  = \frac{{280\sqrt 3 }}{{143}}\,\left( {c{m^3}} \right) \approx 3,4\left( {c{m^3}} \right)$.

Chọn D.