Phương pháp giải:

Gọi $z = a + bi\,\,\left( {a;b \in R} \right)$, tìm điều kiện để $\frac{z}{{z - 6}}$ là số thuần ảo.

Suy ra các đường biểu diễn z thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm điều kiện để các đường biểu diễn đó có 1 điểm chung duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right),z \ne 6.$ M(a; b) là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có

$\frac{z}{{z - 6}} = \frac{{a + bi}}{{\left( {a + bi} \right) - 6}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a - 6 - bi} \right)}}{{\left( {a - 6 + bi} \right)\left( {a - 6 - bi} \right)}} = \frac{{a\left( {a - 6} \right) + {b^2} + i\left( {b\left( {a - 6} \right) - ab} \right)}}{{{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {b^2}}}$

Để $\frac{z}{{z - 6}}$  là số thuần ảo thì ta phải có $a\left( {a - 6} \right) + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + {b^2} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Và ${\left( {a - 6} \right)^2} + {b^2} \ne 0$. Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm $I\left( {3;0} \right)$ bán kính $R = 3$.

Từ $\left| {z - m} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {a + bi} \right) - m} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - m} \right)^2} + {b^2} = 16\,\,\left( 2 \right)$

Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I'\left( {m;0} \right);$ bán kính $R' = 4$.

Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì hai đường tròn $\left( {I;R} \right);\,\,\left( {I';R'} \right)$ có 1 điểm chung duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}II' = R + R'\\II' = \left| {R - R'} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| = 7\\\left| {m - 3} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m =  - 4\\m = 4\\m = 2\end{array} \right.$

Với $m = 2;m = 10$ loại do hai đường tròn tiếp xúc tại điểm $\left( {6;0} \right)$.

Vậy $S = \left\{ { - 4;4} \right\}$

Tổng các phần tử của S là $4 - 4 = 0$

Chọn A.