Phương pháp giải:

 Bản chất của bài toán là tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác Lời giải: 

Lời giải chi tiết:

Ta có $h=\left| d \right|=\left| 5\sin 6t-4\cos 6t \right|=\sqrt{41}\left| \sin \left( 6t+\alpha \right) \right|\le \sqrt{41}$, với $\left\{ \begin{align} & \cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}} \\ & \sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{41}} \\ \end{align} \right.$.

Do đó vật ở xa vị trí cân bằng nhất ${{h}_{\max }}=\sqrt{41}$ khi $\left| \sin \left( 6t+\alpha \right) \right|=1\Leftrightarrow \cos \left( 6t+\alpha \right)=0$ $\Leftrightarrow 6t+\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow t=-\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}$.

Trong giây đầu tiên, $0\le t\le 1\Leftrightarrow 0\le -\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\le 1\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}\le k\le \frac{6}{\pi }+\frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}$.

Vậy có $2$ lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

Chọn D