Phương pháp giải:

 Lập phương trình đoạn chắn, áp dụng bất đẳng thức để tìm thể tích lớn nhất

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( a;0;0 \right)\), \(B\left( 0;b;0 \right)\), \(C\left( 0;0;c \right)\), do \(A\), \(B\), \(C\) thuộc ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) nên \(a\), \(b\), \(c>0\).

Phương trình \(\left( P \right)\) theo đoạn chắn có dạng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

Do \(M\left( 2;1;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\).

Áp dụng Cauchy cho \(\text{3}\) số dương \(\frac{2}{a}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{1}{c}\) ta có \(1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}\) \(\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{abc}{6}\ge 9\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=c=3 \\ \end{align} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0\).

Chọn D