Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Nối $AC\cap BD=O;\,BM\cap OC=G$.

$\Delta BCD$ có G là trọng tâm $\Rightarrow GB=2GM$.

* Qua B dựng Bx // SA $\Rightarrow Bx\bot \left( ABCD \right).$ Nối $AH\cap Bx={{S}_{1}}$

$\Rightarrow \left( SAC \right)\equiv \left( {{S}_{1}}AC \right)$.

* Ta có :

$\begin{align}  \frac{GM}{GB}=\frac{d\left( M;\left( HAC \right) \right)}{d\left( B;\left( HAC \right) \right)}=\frac{1}{2} \\  \Rightarrow d\left( M;\left( HAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( B;\left( {{S}_{1}}AC \right) \right) \\ \end{align}$

* Vẽ

$BK\bot {{S}_{1}}O\Rightarrow BK\bot \left( {{S}_{1}}AC \right)\Rightarrow d\left( B;\left( {{S}_{1}}AC \right) \right)=BK$.

* Tính BK :

+ ${{S}_{1}}B//SA\Rightarrow \frac{{{S}_{1}}B}{SA}=\frac{HB}{HS}=\frac{1}{4}$ (Vì $\frac{SH}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{4}{5}$)

$\Rightarrow {{S}_{1}}B=\frac{1}{4}SA=\frac{a}{2}$.

+ Tam giác vuông ${{S}_{1}}BO$ : $\frac{1}{B{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{{{a}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\frac{a}{\sqrt{6}}$

$\Rightarrow$ Đáp số $\frac{a}{2\sqrt{6}}$.

Chọn đáp án D.