Phương pháp giải:

 Diện tích mặt cầu bán kính R: $S=4\pi {{R}^{2}}$. 

Lời giải chi tiết:

Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ $\Rightarrow HH'\bot \left( ABC \right)$ và $HH'\bot \left( A'B'C' \right)$.

Gọi I là trung điểm của HH’. Mặt khác $\Delta ABC$ vuông tại A, $I\in HH'\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IA=IB=IC \\ & IA'=IB'=IC' \\ \end{align} \right.$

Dễ dàng chứng minh được $\Delta BHI=\Delta B'H'I\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow IB=IB'$

$\Rightarrow IA=IB=IC=IA'=IB'=IC'$ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.

Kẻ $AK\bot BC$ ta có $AK\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow \widehat{\left( AC';\left( BCC'B' \right) \right)}=\widehat{\left( AC';KC' \right)}=\widehat{AC'K}={{30}^{0}}$.

Có $AC=A'C'=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a$

Ta có $AK=\frac{AC.AB}{BC}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\begin{align} & \Rightarrow AC'=\frac{AK}{\sin 30}=a\sqrt{3} \\ & \Rightarrow AA'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A'C{{'}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}=HH' \\ & \Rightarrow HI=\frac{1}{2}HH'=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow BI=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}=R \\ & \Rightarrow {{S}_{mat\,cau}}=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}=6\pi {{a}^{2}} \\ \end{align}$

Chọn B.