Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên R \(\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in R\) và \(f'\left( x \right)=0\) tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(y'=4{{x}^{3}}+4x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow x>0\)

Đáp án B: TXĐ \(D=R\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}\) , ta có \(y'=\frac{3}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\in D\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên các khoảng xác định \(\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\) và \(\left( -\frac{1}{2};+\infty  \right)\)

Đáp án C: \(y'=3{{x}^{2}}+1>0\,\,\forall x\in R\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

Đáp án D: TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi  \right\}\), ta có: \(y'=1+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0\,\,\forall x\in D\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.