Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A, tìm điều kiện để \(d\left( {A;BC} \right) = BC\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right) \hfill \cr   x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 3 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 3 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr}  \right.\)  

Phương trình đường thẳng \(BC:\,\,y =  - {m^2} + 3 \Rightarrow d\left( {A;BC} \right) = {{\left| {{m^2}} \right|} \over {\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {m^2};\,\,BC = 2\sqrt m \)

Để độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh bằng độ dài cạnh đáy

\( \Leftrightarrow d\left( {A;BC} \right) = BC \Leftrightarrow {m^2} = 2\sqrt m  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m\sqrt m  = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {m^3} = 4 \Leftrightarrow m = \root 3 \of 4 \)

Chọn C.