Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích : $\cos a + \cos b = 2\cos {{a + b} \over 2}\cos {{a - b} \over 2}$, công thức nhân đôi $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1$.

Sử dụng tổng ba góc trong 1 tam giác $A + B + C = {180^0} \Rightarrow A + B = {180^0} - C \Rightarrow \cos \left( {A + B} \right) =  - \cos C$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C =  - 1  \cr   &  \Leftrightarrow \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 1 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow 2\cos (A + B)\cos (A - B) + 2{\cos ^2}C = 0  \cr   &  \Leftrightarrow 2\cos ({180^0} - C)\cos (A - B) + 2{\cos ^2}C = 0  \cr   &  \Leftrightarrow  - 2\cos C\cos (A - B) + 2{\cos ^2}C = 0  \cr   &  \Leftrightarrow  - 2\cos C\left( {\cos (A - B) - \cos C} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \cos C = 0 \hfill \cr   \cos (A - B) = \cos C \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  C = {90^0} \hfill \cr   A - B = C \hfill \cr   A - B =  - C \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  C = {90^0} \hfill \cr   A = B + C \hfill \cr   A + C = B \hfill \cr}  \right. \cr}$

Nếu $A = B + C \Rightarrow A = B + C = {{{{180}^0}} \over 2} = {90^0}$: Tam giác ABC vuông tại A.

Nếu $B = A + C \Rightarrow B = A + C = {{{{180}^0}} \over 2} = {90^0}$: Tam giác ABC vuông tại B.

Vậy, nếu $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C =  - 1$ thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Chọn: A