Phương pháp giải:

Xác định tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và sử dụng điều kiện tứ giác nội tiếp để tìm giá trị tham số m

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \,m \\ \end{align} \right..\)

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(m\ne 0.\)

Khi đó, gọi \(A\left( 0;{{m}^{4}}+5 \right),\)\(B\left( -\,m;5 \right),\,\,C\left( m;5 \right)\) là tọa độ ba điểm cực trị.

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(OBAC\). Vì OA là trung trực của BC \(\Rightarrow \,\,I\in BC\Rightarrow I\in Oy\Rightarrow \,\,I\left( 0;a \right).\) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBAC $\Rightarrow IA=IO$

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của \(OA\)\(\Rightarrow \,\,I\left( 0;\frac{{{m}^{4}}+5}{2} \right)\) mà \(OI=IB\) nên suy ra

\(\frac{{{m}^{4}}+5}{2}=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{4}}-5}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{m}^{4}}+5}{2} \right)}^{2}}={{m}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{4}}-5}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align}  & {{m}^{2}}=0\,\,\left( ktm \right) \\  & {{m}^{2}}=\frac{1}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow m=\pm \,\frac{1}{\sqrt{5}}.\)

Vậy có tất cả hai giá trị \(m\) cần tìm \(\Rightarrow \) Số phần tử của \(S\) là \(2.\)

Chọn C