Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: với $x>4$ thì $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-16}{x-4}=x+4$

$\begin{align}  & f\left( 4 \right)=4m+1. \\  & \underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+4 \right)=8. \\  & \underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( mx+1 \right)=4m+1. \\ \end{align}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x=4\Leftrightarrow 4m+1=8\Leftrightarrow m=\frac{7}{4}.$

Chọn C.