Phương pháp giải:

- Trên (O), (O’) lần lượt lấy B’, A’ sao cho AA’ // BB’ // OO’.

- Xác định góc \(\alpha \): góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) theo thể tích khối lăng trụ \(OAB'.O'A'B\).

- Tìm GTLN của khối lăng trụ suy ra số đo góc \(\widehat{AOB'}={{90}^{0}}\Rightarrow A'B=AB'=a\sqrt{2}\Rightarrow \tan \alpha \)

Lời giải chi tiết:

Trên (O), (O’) lần lượt lấy B’, A’ sao cho AA’ // BB’ // OO’.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot (O'A'B)\\AB \cap (O'A'B) = \left\{ B \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {AB,(O'A'B)}} \right) = \left( {\widehat {AB,A'B}} \right) = \widehat {ABA'} = \alpha \)

Ta có:  OAB’.O’A’B là hình lăng trụ.

\({{V}_{OO'AB}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.OO'BB'}}=\frac{1}{2}.\left( {{V}_{OAB'.O'A'B}}-{{V}_{A.A'BO'}} \right)=\frac{1}{2}\left( V-\frac{V}{3} \right)=\frac{V}{3}\)

(V: thể tích lăng trụ OAB’.O’A’B)

\(\Rightarrow {{V}_{OO'AB}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(V\)lớn nhất.

Mà, thể tích lăng trụ:

\(V={{S}_{OAB'}}.OO'=\frac{1}{2}.OA.OB'\sin \widehat{O}.\,OO'=\frac{1}{2}.2a.2a.\sin \widehat{O}.2a=4{{a}^{3}}.\sin \widehat{O}\le 4{{a}^{3}}\)

\(\Rightarrow {{V}_{\max }}=4{{a}^{3}}\) khi và chỉ khi \(\widehat{AOB'}={{90}^{0}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = OA\sqrt 2  = 2a\sqrt 2 \\ \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{AA'}}{{A'B}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Chọn: B.