Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D, suy ra BCID là hình bình hành nên BD // CI

Do đó $d\left( BD;CD' \right)=d\left( BD;\left( CD'I \right) \right)=d\left( D;\left( CD'I \right) \right).$

Kẻ $DE\bot CI$ tại E, kẻ $DK\bot D'E\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DD'E} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow DK\bot \left( CD'I \right)\Rightarrow d\left( D;\left( CD'I \right) \right)=DK.$

Xét tam giác IAC, ta có DE // AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác ACI. Suy ra $DE=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.$

Tam giác vuông $D'DE$, có $DK=\frac{D'D.DE}{\sqrt{D'{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}}}=\frac{2a.a}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Chọn C.