Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{3}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{3}.\) Mặt cầu có một đường kính là đoạn vuông góc chung của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình :
- A \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3\)
- B \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12\)
- C \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\)
- D \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=12\)
- E Không có đáp án.
Phương pháp giải:
+) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa \({{d}_{1}}\) và song song với \({{d}_{2}}\).
+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa \({{d}_{1}}\) và vuông góc với (P).
+) Gọi M là giao điểm của (Q) và \({{d}_{2}}\).
+) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) thì \(\Delta \) là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).
+) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).
Khi đó AB chính là đoạn vuông góc chung của \({{d}_{1}};\ \ {{d}_{2}}\).
+) Mặt cầu cần tìm có tâm I là trung điểm của AB và bán kính là: \(\frac{AB}{2}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;3 \right);\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;3 \right)\) lần lượt là VTCP của d1 và d¬2.
Lấy \(M\left( -1;-1;-1 \right)\in {{d}_{1}},M'\left( 2;0;3 \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MM'}=\left( 3;1;4 \right)\)
Ta có : \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-3;3 \right)\) \(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{MM'}=-3.3-3.1+3.4=0 \)
\(\Rightarrow\) Hai đường thẳng d1 và d2 đồng phẳng cắt nhau, do đó không có đường vuông góc chung.
Không có đáp án.
Câu hỏi trước
