Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra tam giác $ABD$ đều cạnh $a$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.

Do $SA=SB=SD$ nên suy ra $H$ là tâm của tam gác đều $ABD$.

Suy ra $AH=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3},HI=\frac{1}{3}AI=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

và $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}.$

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $HI\bot BD$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ nên $SI\bot BD$. Do đó $\widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SI;AI \right)}=\widehat{SIH}.$.

Trong tam vuông $SHI$, có $\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\sqrt{5}.$

Chọn A.