Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên $BC\bot AD.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SA$.

Lại có theo giả thiết $IH\bot SA$. Từ đó suy ra $SA\bot \left( HCB \right)\Rightarrow SA\bot BH$.

$\Rightarrow$Đáp án A đúng.                                                                     

Tính được $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $AD=2AI=a\sqrt{3}$, $S{{A}^{2}}=\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{D}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}.$

Ta có $\Delta AHI\backsim \Delta ADS\Rightarrow \frac{IH}{SD}=\frac{AI}{AS}\Rightarrow IH=\frac{AI.SD}{AS}=\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}\Rightarrow$ Tam giác $HBC$ có trung tuyến $IH$ bằng nửa cạnh đáy $BC$ nên $\widehat{BHC}={{90}^{0}}$ hay $BH\bot HC$. Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra $BH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( SAC \right)\Rightarrow$ mệnh đề C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Chọn B